微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{1 - \sqrt{1 + x^{2}}}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} 1 - \sqrt{1 + x^{2}}}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} 1 - \sqrt{1 + x^{2}}}$

解题步骤 1.1.2.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0} 1 - \sqrt{1 + x^{2}}}$

解题步骤 1.1.2.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - \sqrt{1 + x^{2}}}$

解题步骤 1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.1.3.1

计算极限值。

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解题步骤 1.1.3.1.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \sqrt{1 + x^{2}}}$

解题步骤 1.1.3.1.2

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{1 - lim_{x \to 0} \sqrt{1 + x^{2}}}$

解题步骤 1.1.3.1.3

将极限移入根号内。

$\frac{0}{1 - \sqrt{lim_{x \to 0} 1 + x^{2}}}$

解题步骤 1.1.3.1.4

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{1 - \sqrt{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} x^{2}}}$

解题步骤 1.1.3.1.5

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{1 - \sqrt{1 + lim_{x \to 0} x^{2}}}$

解题步骤 1.1.3.1.6

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{0}{1 - \sqrt{1 + {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}}$

解题步骤 1.1.3.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{1 - \sqrt{1 + 0^{2}}}$

解题步骤 1.1.3.3

化简答案。

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解题步骤 1.1.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.3.3.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{0}{1 - \sqrt{1 + 0}}$

解题步骤 1.1.3.3.1.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0}{1 - \sqrt{1}}$

解题步骤 1.1.3.3.1.3

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

解题步骤 1.1.3.3.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0}{1 - 1}$

解题步骤 1.1.3.3.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{1 - \sqrt{1 + x^{2}}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [1 - \sqrt{1 + x^{2}}]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [1 - \sqrt{1 + x^{2}}]}$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [1 - \sqrt{1 + x^{2}}]}$

解题步骤 1.3.3

根据加法法则， $1 - \sqrt{1 + x^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 + x^{2}}]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 + x^{2}}]}$

解题步骤 1.3.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 + x^{2}}]}$

解题步骤 1.3.5

计算 $\frac{d}{d x} [- \sqrt{1 + x^{2}}]$ 。

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解题步骤 1.3.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{1 + x^{2}}$ 重写成 ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 + \frac{d}{d x} [- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}$

解题步骤 1.3.5.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}$

解题步骤 1.3.5.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 1 + x^{2}$ 。

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解题步骤 1.3.5.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $1 + x^{2}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}$

解题步骤 1.3.5.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}$

解题步骤 1.3.5.3.3

使用 $1 + x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}$

解题步骤 1.3.5.4

根据加法法则， $1 + x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]))}$

解题步骤 1.3.5.5

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]))}$

解题步骤 1.3.5.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 2 x))}$

解题步骤 1.3.5.7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 2 x))}$

解题步骤 1.3.5.8

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 2 x))}$

解题步骤 1.3.5.9

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 2 x))}$

解题步骤 1.3.5.10

化简分子。

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解题步骤 1.3.5.10.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 2 x))}$

解题步骤 1.3.5.10.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 2 x))}$

解题步骤 1.3.5.11

将负号移到分数的前面。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 + 2 x))}$

解题步骤 1.3.5.12

将 $0$ 和 $2 x$ 相加。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (2 x))}$

解题步骤 1.3.5.13

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - (\frac{{(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} (2 x))}$

解题步骤 1.3.5.14

组合 $2$ 和 $\frac{{(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - (\frac{2 {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} x)}$

解题步骤 1.3.5.15

组合 $\frac{2 {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 和 $x$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - \frac{2 {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} x}{2}}$

解题步骤 1.3.5.16

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - \frac{2 x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 1.3.5.17

约去公因数。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - \frac{2 x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 1.3.5.18

重写表达式。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 1.3.6

从 $0$ 中减去 $\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{- \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 1.4

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to 0} 2 x (- \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{x})$

解题步骤 1.5

将 ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\sqrt{1 + x^{2}}$ 。

$lim_{x \to 0} 2 x (- \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{x})$

解题步骤 1.6

合并因数。

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解题步骤 1.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$lim_{x \to 0} - 2 x \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{x}$

解题步骤 1.6.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{x}$ 。

$lim_{x \to 0} x \frac{- 2 \sqrt{1 + x^{2}}}{x}$

解题步骤 1.6.3

组合 $x$ 和 $\frac{- 2 \sqrt{1 + x^{2}}}{x}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{x (- 2 \sqrt{1 + x^{2}})}{x}$

解题步骤 1.7

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.7.1

约去公因数。

$lim_{x \to 0} \frac{x (- 2 \sqrt{1 + x^{2}})}{x}$

解题步骤 1.7.2

用 $- 2 \sqrt{1 + x^{2}}$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} - 2 \sqrt{1 + x^{2}}$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

因为项 $- 2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- 2 lim_{x \to 0} \sqrt{1 + x^{2}}$

解题步骤 2.2

将极限移入根号内。

$- 2 \sqrt{lim_{x \to 0} 1 + x^{2}}$

解题步骤 2.3

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$- 2 \sqrt{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 2.4

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$- 2 \sqrt{1 + lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 2.5

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$- 2 \sqrt{1 + {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

解题步骤 3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$- 2 \sqrt{1 + 0^{2}}$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$- 2 \sqrt{1 + 0}$

解题步骤 4.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$- 2 \sqrt{1}$

解题步骤 4.3

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$- 2 \cdot 1$

解题步骤 4.4

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$- 2$

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