微积分学示例

$6 \sqrt{\frac{1}{x} + 8 x^{4}}$

解题步骤 1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{\frac{1}{x} + 8 x^{4}}$ 重写成 ${(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [6 {(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 1.2

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 {(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [{(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}]$ 。

$6 \frac{d}{d x} [{(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = \frac{1}{x} + 8 x^{4}$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{1}{x} + 8 x^{4}$ 。

$6 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} + 8 x^{4}])$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$6 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} + 8 x^{4}])$

解题步骤 2.3

使用 $\frac{1}{x} + 8 x^{4}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$6 (\frac{1}{2} {(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} + 8 x^{4}])$

解题步骤 3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$6 (\frac{1}{2} {(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} + 8 x^{4}])$

解题步骤 4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$6 (\frac{1}{2} {(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} + 8 x^{4}])$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$6 (\frac{1}{2} {(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} + 8 x^{4}])$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$6 (\frac{1}{2} {(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} + 8 x^{4}])$

解题步骤 6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$6 (\frac{1}{2} {(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} + 8 x^{4}])$

解题步骤 7

将负号移到分数的前面。

$6 (\frac{1}{2} {(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} + 8 x^{4}])$

解题步骤 8

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$6 (\frac{{(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} + 8 x^{4}])$

解题步骤 9

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$6 (\frac{1}{2 {(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} + 8 x^{4}])$

解题步骤 10

组合 $\frac{1}{2 {(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $6$ 。

$\frac{6}{2 {(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} + 8 x^{4}]$

解题步骤 11

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 3}{2 {(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} + 8 x^{4}]$

解题步骤 12

约去公因数。

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解题步骤 12.1

从 $2 {(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 3}{2 ({(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} + 8 x^{4}]$

解题步骤 12.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 3}{2 {(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} + 8 x^{4}]$

解题步骤 12.3

重写表达式。

$\frac{3}{{(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} + 8 x^{4}]$

解题步骤 13

根据加法法则， $\frac{1}{x} + 8 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [8 x^{4}]$ 。

$\frac{3}{{(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [8 x^{4}])$

解题步骤 14

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$\frac{3}{{(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [8 x^{4}])$

解题步骤 15

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$\frac{3}{{(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}} (- x^{- 2} + \frac{d}{d x} [8 x^{4}])$

解题步骤 16

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$\frac{3}{{(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}} (- x^{- 2} + 8 \frac{d}{d x} [x^{4}])$

解题步骤 17

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$\frac{3}{{(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}} (- x^{- 2} + 8 (4 x^{3}))$

解题步骤 18

将 $4$ 乘以 $8$ 。

$\frac{3}{{(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}} (- x^{- 2} + 32 x^{3})$

解题步骤 19

化简。

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解题步骤 19.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{3}{{(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{x^{2}} + 32 x^{3})$

解题步骤 19.2

重新排序 $\frac{3}{{(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{x^{2}} + 32 x^{3})$ 的因式。

$(- \frac{1}{x^{2}} + 32 x^{3}) \frac{3}{{(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 19.3

化简分母。

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解题步骤 19.3.1

要将 $8 x^{4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$(- \frac{1}{x^{2}} + 32 x^{3}) \frac{3}{{(\frac{1}{x} + \frac{8 x^{4} x}{x})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 19.3.2

在公分母上合并分子。

$(- \frac{1}{x^{2}} + 32 x^{3}) \frac{3}{{(\frac{1 + 8 x^{4} x}{x})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 19.3.3

通过指数相加将 $x^{4}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 19.3.3.1

移动 $x$ 。

$(- \frac{1}{x^{2}} + 32 x^{3}) \frac{3}{{(\frac{1 + 8 (x \cdot x^{4})}{x})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 19.3.3.2

将 $x$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 19.3.3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$(- \frac{1}{x^{2}} + 32 x^{3}) \frac{3}{{(\frac{1 + 8 (x^{1} x^{4})}{x})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 19.3.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(- \frac{1}{x^{2}} + 32 x^{3}) \frac{3}{{(\frac{1 + 8 x^{1 + 4}}{x})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 19.3.3.3

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$(- \frac{1}{x^{2}} + 32 x^{3}) \frac{3}{{(\frac{1 + 8 x^{5}}{x})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 19.3.4

对 $\frac{1 + 8 x^{5}}{x}$ 运用乘积法则。

$(- \frac{1}{x^{2}} + 32 x^{3}) \frac{3}{\frac{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 19.4

将分子乘以分母的倒数。

$(- \frac{1}{x^{2}} + 32 x^{3}) (3 \frac{x^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 19.5

组合 $3$ 和 $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$(- \frac{1}{x^{2}} + 32 x^{3}) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 19.6

将 $- \frac{1}{x^{2}} + 32 x^{3}$ 乘以 $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{(- \frac{1}{x^{2}} + 32 x^{3}) (3 x^{\frac{1}{2}})}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 19.7

化简分子。

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解题步骤 19.7.1

要将 $32 x^{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ 。

$\frac{(- \frac{1}{x^{2}} + \frac{32 x^{3} x^{2}}{x^{2}}) \cdot 3 x^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 19.7.2

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{- 1 + 32 x^{3} x^{2}}{x^{2}} \cdot 3 x^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 19.7.3

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 19.7.3.1

移动 $x^{2}$ 。

$\frac{\frac{- 1 + 32 (x^{2} x^{3})}{x^{2}} \cdot 3 x^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 19.7.3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{- 1 + 32 x^{2 + 3}}{x^{2}} \cdot 3 x^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 19.7.3.3

将 $2$ 和 $3$ 相加。

$\frac{\frac{- 1 + 32 x^{5}}{x^{2}} \cdot 3 x^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 19.7.4

合并指数。

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解题步骤 19.7.4.1

组合 $\frac{- 1 + 32 x^{5}}{x^{2}}$ 和 $3$ 。

$\frac{\frac{(- 1 + 32 x^{5}) \cdot 3}{x^{2}} x^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 19.7.4.2

组合 $\frac{(- 1 + 32 x^{5}) \cdot 3}{x^{2}}$ 和 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\frac{(- 1 + 32 x^{5}) \cdot 3 x^{\frac{1}{2}}}{x^{2}}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 19.7.5

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 19.7.5.1

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{(- 1 + 32 x^{5}) \cdot 3 x^{\frac{1}{2}}}{x^{2}}$ 。

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解题步骤 19.7.5.1.1

从 $(- 1 + 32 x^{5}) \cdot 3 x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{\frac{x^{2} ((- 1 + 32 x^{5}) \cdot 3 x^{\frac{- 3}{2}})}{x^{2}}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 19.7.5.1.2

乘以 $1$ 。

$\frac{\frac{x^{2} ((- 1 + 32 x^{5}) \cdot 3 x^{\frac{- 3}{2}})}{x^{2} \cdot 1}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 19.7.5.1.3

约去公因数。

$\frac{\frac{x^{2} ((- 1 + 32 x^{5}) \cdot 3 x^{\frac{- 3}{2}})}{x^{2} \cdot 1}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 19.7.5.1.4

重写表达式。

$\frac{\frac{(- 1 + 32 x^{5}) \cdot 3 x^{\frac{- 3}{2}}}{1}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 19.7.5.2

用 $(- 1 + 32 x^{5}) \cdot 3 x^{\frac{- 3}{2}}$ 除以 $1$ 。

$\frac{(- 1 + 32 x^{5}) \cdot 3 x^{\frac{- 3}{2}}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 19.7.6

将负号移到分数的前面。

$\frac{(- 1 + 32 x^{5}) \cdot 3 x^{- \frac{3}{2}}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 19.7.7

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{(- 1 + 32 x^{5}) \cdot 3 \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 19.7.8

组合 $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ 和 $3$ 。

$\frac{(- 1 + 32 x^{5}) \cdot \frac{3}{x^{\frac{3}{2}}}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 19.8

从 $\frac{(- 1 + 32 x^{5}) \cdot \frac{3}{x^{\frac{3}{2}}}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$ 中分解出因数 $\frac{3}{x^{\frac{3}{2}}}$ 。

$\frac{3}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{- 1 + 32 x^{5}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 19.9

将 $\frac{3}{x^{\frac{3}{2}}}$ 乘以 $\frac{- 1 + 32 x^{5}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{3 (- 1 + 32 x^{5})}{x^{\frac{3}{2}} {(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 19.10

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$\frac{3 (- 1 (1) + 32 x^{5})}{x^{\frac{3}{2}} {(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 19.11

从 $32 x^{5}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{3 (- 1 (1) - (- 32 x^{5}))}{x^{\frac{3}{2}} {(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 19.12

从 $- 1 (1) - (- 32 x^{5})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{3 (- 1 (1 - 32 x^{5}))}{x^{\frac{3}{2}} {(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 19.13

将负号移到分数的前面。

$- \frac{3 (1 - 32 x^{5})}{x^{\frac{3}{2}} {(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

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