微积分学示例

$\frac{x^{2} + 2}{2 x - 1}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{2} + 2$ 且 $g (x) = 2 x - 1$ 。

$\frac{(2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2] - (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.2.1

根据加法法则， $x^{2} + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$\frac{(2 x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]) - (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{(2 x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [2]) - (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(2 x - 1) (2 x + 0) - (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.4

化简表达式。

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解题步骤 1.1.2.4.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(2 x - 1) (2 x) - (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.4.2

将 $2$ 移到 $2 x - 1$ 的左侧。

$\frac{2 \cdot (2 x - 1) x - (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.5

根据加法法则， $2 x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{2 (2 x - 1) x - (x^{2} + 2) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.6

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{2 (2 x - 1) x - (x^{2} + 2) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{2 (2 x - 1) x - (x^{2} + 2) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.8

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 (2 x - 1) x - (x^{2} + 2) (2 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.9

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{2 (2 x - 1) x - (x^{2} + 2) (2 + 0)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.10

化简表达式。

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解题步骤 1.1.2.10.1

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 (2 x - 1) x - (x^{2} + 2) \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.10.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 (2 x - 1) x - 2 (x^{2} + 2)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3

化简。

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解题步骤 1.1.3.1

运用分配律。

$\frac{(2 (2 x) + 2 \cdot - 1) x - 2 (x^{2} + 2)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.2

运用分配律。

$\frac{2 (2 x) x + 2 \cdot - 1 x - 2 (x^{2} + 2)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.3

运用分配律。

$\frac{2 (2 x) x + 2 \cdot - 1 x - 2 x^{2} - 2 \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.4

化简分子。

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解题步骤 1.1.3.4.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.3.4.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.3.4.1.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{2 (2 (x \cdot x)) + 2 \cdot - 1 x - 2 x^{2} - 2 \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.4.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{2 (2 x^{2}) + 2 \cdot - 1 x - 2 x^{2} - 2 \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.4.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4 x^{2} + 2 \cdot - 1 x - 2 x^{2} - 2 \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.4.1.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{4 x^{2} - 2 x - 2 x^{2} - 2 \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.4.1.4

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4 x^{2} - 2 x - 2 x^{2} - 4}{{(2 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.4.2

从 $4 x^{2}$ 中减去 $2 x^{2}$ 。

$\frac{2 x^{2} - 2 x - 4}{{(2 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.5

化简分子。

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解题步骤 1.1.3.5.1

从 $2 x^{2} - 2 x - 4$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 1.1.3.5.1.1

从 $2 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (x^{2}) - 2 x - 4}{{(2 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.5.1.2

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (x^{2}) + 2 (- x) - 4}{{(2 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.5.1.3

从 $- 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (x^{2}) + 2 (- x) + 2 (- 2)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.5.1.4

从 $2 (x^{2}) + 2 (- x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (x^{2} - x) + 2 (- 2)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.5.1.5

从 $2 (x^{2} - x) + 2 (- 2)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (x^{2} - x - 2)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.5.2

使用 AC 法来对 $x^{2} - x - 2$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.1.3.5.2.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 2$ ，和为 $- 1$ 。

$- 2, 1$

解题步骤 1.1.3.5.2.2

使用这些整数书写分数形式。

$f' (x) = \frac{2 ((x - 2) (x + 1))}{{(2 x - 1)}^{2}}$

$f' (x) = \frac{2 (x - 2) (x + 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{2 (x - 2) (x + 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$ 。

$\frac{2 (x - 2) (x + 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{2 (x - 2) (x + 1)}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{2 (x - 2) (x + 1)}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

解题步骤 2.2

将分子设为等于零。

$2 (x - 2) (x + 1) = 0$

解题步骤 2.3

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 2.3.1

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0$

解题步骤 2.3.2

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

解题步骤 2.3.2.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

解题步骤 2.3.3

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.3.3.1

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

解题步骤 2.3.3.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x = - 1$

解题步骤 2.3.4

最终解为使 $2 (x - 2) (x + 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = 2, - 1$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{2 (x - 2) (x + 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

${(2 x - 1)}^{2} = 0$

解题步骤 3.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.2.1

将 $2 x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$2 x - 1 = 0$

解题步骤 3.2.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.2.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$2 x = 1$

解题步骤 3.2.2.2

将 $2 x = 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 3.2.2.2.1

将 $2 x = 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 3.2.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 3.2.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{1}{2}$

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $\frac{x^{2} + 2}{2 x - 1}$ 。

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解题步骤 4.1

在 $x = 2$ 处计算

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解题步骤 4.1.1

代入 $2$ 替换 $x$ 。

$\frac{{(2)}^{2} + 2}{2 (2) - 1}$

解题步骤 4.1.2

化简。

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解题步骤 4.1.2.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.2.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{4 + 2}{2 (2) - 1}$

解题步骤 4.1.2.1.2

将 $4$ 和 $2$ 相加。

$\frac{6}{2 (2) - 1}$

解题步骤 4.1.2.2

化简分母。

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解题步骤 4.1.2.2.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{6}{4 - 1}$

解题步骤 4.1.2.2.2

从 $4$ 中减去 $1$ 。

$\frac{6}{3}$

解题步骤 4.1.2.3

用 $6$ 除以 $3$ 。

$2$

解题步骤 4.2

在 $x = - 1$ 处计算

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解题步骤 4.2.1

代入 $- 1$ 替换 $x$ 。

$\frac{{(- 1)}^{2} + 2}{2 (- 1) - 1}$

解题步骤 4.2.2

化简。

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解题步骤 4.2.2.1

化简分子。

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解题步骤 4.2.2.1.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{1 + 2}{2 (- 1) - 1}$

解题步骤 4.2.2.1.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{3}{2 (- 1) - 1}$

解题步骤 4.2.2.2

化简分母。

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解题步骤 4.2.2.2.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{3}{- 2 - 1}$

解题步骤 4.2.2.2.2

从 $- 2$ 中减去 $1$ 。

$\frac{3}{- 3}$

解题步骤 4.2.2.3

用 $3$ 除以 $- 3$ 。

$- 1$

解题步骤 4.3

在 $x = \frac{1}{2}$ 处计算

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解题步骤 4.3.1

代入 $\frac{1}{2}$ 替换 $x$ 。

$\frac{{(\frac{1}{2})}^{2} + 2}{2 (\frac{1}{2}) - 1}$

解题步骤 4.3.2

化简。

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解题步骤 4.3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{{(\frac{1}{2})}^{2} + 2}{2 (\frac{1}{2}) - 1}$

解题步骤 4.3.2.1.2

重写表达式。

$\frac{{(\frac{1}{2})}^{2} + 2}{1 - 1}$

解题步骤 4.3.2.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{{(\frac{1}{2})}^{2} + 2}{0}$

解题步骤 4.3.2.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

解题步骤 4.4

列出所有的点。

$(2, 2), (- 1, - 1)$

解题步骤 5

微积分学 示例

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