微积分学示例

$x \cos^{3} (x)$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \cos^{3} (x)$ 。

$x \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)] + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\cos (x)$ 。

$x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3

使用 $\cos (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x (3 \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$x (3 \cos^{2} (x) (- \sin (x))) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4

使用幂法则求微分。

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解题步骤 4.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$x (- 3 \cos^{2} (x) \sin (x)) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x (- 3 \cos^{2} (x) \sin (x)) + \cos^{3} (x) \cdot 1$

解题步骤 4.3

化简表达式。

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解题步骤 4.3.1

将 $\cos^{3} (x)$ 乘以 $1$ 。

$x (- 3 \cos^{2} (x) \sin (x)) + \cos^{3} (x)$

解题步骤 4.3.2

重新排序项。

$- 3 x \cos^{2} (x) \sin (x) + \cos^{3} (x)$

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