微积分学示例

$x \tan^{2} (x)$

解题步骤 1

将 $x \tan^{2} (x)$ 书写为一个函数。

$f (x) = x \tan^{2} (x)$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int x \tan^{2} (x) d x$

解题步骤 4

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = \tan^{2} (x)$ 。

$x (- x + \tan (x)) - \int - x + \tan (x) d x$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$x (- x + \tan (x)) - (\int - x d x + \int \tan (x) d x)$

解题步骤 6

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$x (- x + \tan (x)) - (- \int x d x + \int \tan (x) d x)$

解题步骤 7

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$x (- x + \tan (x)) - (- (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int \tan (x) d x)$

解题步骤 8

$\tan (x)$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| \sec (x) |)$ 。

$x (- x + \tan (x)) - (- (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \ln (| \sec (x) |) + C)$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$x (- x + \tan (x)) - (- (\frac{x^{2}}{2} + C) + \ln (| \sec (x) |) + C)$

解题步骤 9.2

化简。

$- x \cdot x + x \tan (x) - (- \frac{x^{2}}{2} + \ln (| \sec (x) |)) + C$

解题步骤 9.3

化简。

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解题步骤 9.3.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- (x^{1} x) + x \tan (x) - (- \frac{x^{2}}{2} + \ln (| \sec (x) |)) + C$

解题步骤 9.3.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- (x^{1} x^{1}) + x \tan (x) - (- \frac{x^{2}}{2} + \ln (| \sec (x) |)) + C$

解题步骤 9.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- x^{1 + 1} + x \tan (x) - (- \frac{x^{2}}{2} + \ln (| \sec (x) |)) + C$

解题步骤 9.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- x^{2} + x \tan (x) - (- \frac{x^{2}}{2} + \ln (| \sec (x) |)) + C$

解题步骤 9.4

化简。

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解题步骤 9.4.1

运用分配律。

$- x^{2} + x \tan (x) - - \frac{x^{2}}{2} - \ln (| \sec (x) |) + C$

解题步骤 9.4.2

乘以 $- - \frac{x^{2}}{2}$ 。

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解题步骤 9.4.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- x^{2} + x \tan (x) + 1 \frac{x^{2}}{2} - \ln (| \sec (x) |) + C$

解题步骤 9.4.2.2

将 $\frac{x^{2}}{2}$ 乘以 $1$ 。

$- x^{2} + x \tan (x) + \frac{x^{2}}{2} - \ln (| \sec (x) |) + C$

解题步骤 9.5

重新排序项。

$- x^{2} + x \tan (x) + \frac{1}{2} x^{2} - \ln (| \sec (x) |) + C$

解题步骤 10

答案是函数 $f (x) = x \tan^{2} (x)$ 的不定积分。

$F (x) =$ $- x^{2} + x \tan (x) + \frac{1}{2} x^{2} - \ln (| \sec (x) |) + C$

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