微积分学示例

$\int_{0}^{4} {(x - 3)}^{2} + 3 d x$

解题步骤 1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{0}^{4} {(x - 3)}^{2} d x + \int_{0}^{4} 3 d x$

解题步骤 2

使 $u = x - 3$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u = x - 3$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $x - 3$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

解题步骤 2.1.2

根据加法法则， $x - 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 2.1.4

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 2.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 2.2

将下限代入替换 $u = x - 3$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 0 - 3$

解题步骤 2.3

从 $0$ 中减去 $3$ 。

$u_{lower} = - 3$

解题步骤 2.4

将上限代入替换 $u = x - 3$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 4 - 3$

解题步骤 2.5

从 $4$ 中减去 $3$ 。

$u_{upper} = 1$

解题步骤 2.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = - 3$

$u_{upper} = 1$

解题步骤 2.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{- 3}^{1} u^{2} d u + \int_{0}^{4} 3 d x$

解题步骤 3

根据幂法则， $u^{2}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{3} u^{3}$ 。

$\frac{1}{3} u^{3}]_{- 3}^{1} + \int_{0}^{4} 3 d x$

解题步骤 4

应用常数不变法则。

$\frac{1}{3} u^{3}]_{- 3}^{1} + 3 x]_{0}^{4}$

解题步骤 5

代入并化简。

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解题步骤 5.1

计算 $\frac{1}{3} u^{3}$ 在 $1$ 处和在 $- 3$ 处的值。

$(\frac{1}{3} \cdot 1^{3}) - \frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + 3 x]_{0}^{4}$

解题步骤 5.2

计算 $3 x$ 在 $4$ 处和在 $0$ 处的值。

$(\frac{1}{3} \cdot 1^{3}) - \frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

解题步骤 5.3

化简。

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解题步骤 5.3.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

解题步骤 5.3.2

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{3} - \frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

解题步骤 5.3.3

对 $- 3$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 27 + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

解题步骤 5.3.4

将 $- 27$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{3} + 27 (\frac{1}{3}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

解题步骤 5.3.5

组合 $27$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{1}{3} + \frac{27}{3} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

解题步骤 5.3.6

约去 $27$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.6.1

从 $27$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{1}{3} + \frac{3 \cdot 9}{3} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

解题步骤 5.3.6.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.6.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{1}{3} + \frac{3 \cdot 9}{3 (1)} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

解题步骤 5.3.6.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{3} + \frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

解题步骤 5.3.6.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{3} + \frac{9}{1} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

解题步骤 5.3.6.2.4

用 $9$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{3} + 9 + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

解题步骤 5.3.7

要将 $9$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{1}{3} + 9 \cdot \frac{3}{3} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

解题步骤 5.3.8

组合 $9$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{1}{3} + \frac{9 \cdot 3}{3} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

解题步骤 5.3.9

在公分母上合并分子。

$\frac{1 + 9 \cdot 3}{3} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

解题步骤 5.3.10

化简分子。

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解题步骤 5.3.10.1

将 $9$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1 + 27}{3} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

解题步骤 5.3.10.2

将 $1$ 和 $27$ 相加。

$\frac{28}{3} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

解题步骤 5.3.11

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$\frac{28}{3} + 12 - 3 \cdot 0$

解题步骤 5.3.12

将 $- 3$ 乘以 $0$ 。

$\frac{28}{3} + 12 + 0$

解题步骤 5.3.13

将 $12$ 和 $0$ 相加。

$\frac{28}{3} + 12$

解题步骤 5.3.14

要将 $12$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{28}{3} + 12 \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 5.3.15

组合 $12$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{28}{3} + \frac{12 \cdot 3}{3}$

解题步骤 5.3.16

在公分母上合并分子。

$\frac{28 + 12 \cdot 3}{3}$

解题步骤 5.3.17

化简分子。

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解题步骤 5.3.17.1

将 $12$ 乘以 $3$ 。

$\frac{28 + 36}{3}$

解题步骤 5.3.17.2

将 $28$ 和 $36$ 相加。

$\frac{64}{3}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{64}{3}$

小数形式：

$21.\overline{3}$

带分数形式：

$21 \frac{1}{3}$

解题步骤 7

微积分学 示例

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