微积分学示例

$\int_{- 4}^{- 1} x^{2} (3 - 4 x) d x$

解题步骤 1

乘以 $x^{2} (3 - 4 x)$ 。

$\int_{- 4}^{- 1} x^{2} \cdot 3 + x^{2} (- 4 x) d x$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

将 $3$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$\int_{- 4}^{- 1} 3 \cdot x^{2} + x^{2} (- 4 x) d x$

解题步骤 2.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.2.1

移动 $x$ 。

$\int_{- 4}^{- 1} 3 x^{2} + x \cdot x^{2} \cdot - 4 d x$

解题步骤 2.2.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int_{- 4}^{- 1} 3 x^{2} + x^{1} x^{2} \cdot - 4 d x$

解题步骤 2.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int_{- 4}^{- 1} 3 x^{2} + x^{1 + 2} \cdot - 4 d x$

解题步骤 2.2.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\int_{- 4}^{- 1} 3 x^{2} + x^{3} \cdot - 4 d x$

解题步骤 2.3

将 $- 4$ 移到 $x^{3}$ 的左侧。

$\int_{- 4}^{- 1} 3 x^{2} - 4 x^{3} d x$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{- 4}^{- 1} 3 x^{2} d x + \int_{- 4}^{- 1} - 4 x^{3} d x$

解题步骤 4

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$3 \int_{- 4}^{- 1} x^{2} d x + \int_{- 4}^{- 1} - 4 x^{3} d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 4}^{- 1}) + \int_{- 4}^{- 1} - 4 x^{3} d x$

解题步骤 6

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{- 1}) + \int_{- 4}^{- 1} - 4 x^{3} d x$

解题步骤 7

由于 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 4$ 移到积分外。

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{- 1}) - 4 \int_{- 4}^{- 1} x^{3} d x$

解题步骤 8

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{- 1}) - 4 (\frac{1}{4} x^{4}]_{- 4}^{- 1})$

解题步骤 9

化简答案。

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解题步骤 9.1

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $x^{4}$ 。

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{- 1}) - 4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 4}^{- 1})$

解题步骤 9.2

代入并化简。

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解题步骤 9.2.1

计算 $\frac{x^{3}}{3}$ 在 $- 1$ 处和在 $- 4$ 处的值。

$3 ((\frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}) - 4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 4}^{- 1})$

解题步骤 9.2.2

计算 $\frac{x^{4}}{4}$ 在 $- 1$ 处和在 $- 4$ 处的值。

$3 (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}) - 4 (\frac{{(- 1)}^{4}}{4} - \frac{{(- 4)}^{4}}{4})$

解题步骤 9.2.3

化简。

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解题步骤 9.2.3.1

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$3 (\frac{- 1}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}) - 4 (\frac{{(- 1)}^{4}}{4} - \frac{{(- 4)}^{4}}{4})$

解题步骤 9.2.3.2

将负号移到分数的前面。

$3 (- \frac{1}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}) - 4 (\frac{{(- 1)}^{4}}{4} - \frac{{(- 4)}^{4}}{4})$

解题步骤 9.2.3.3

对 $- 4$ 进行 $3$ 次方运算。

$3 (- \frac{1}{3} - \frac{- 64}{3}) - 4 (\frac{{(- 1)}^{4}}{4} - \frac{{(- 4)}^{4}}{4})$

解题步骤 9.2.3.4

将负号移到分数的前面。

$3 (- \frac{1}{3} - - \frac{64}{3}) - 4 (\frac{{(- 1)}^{4}}{4} - \frac{{(- 4)}^{4}}{4})$

解题步骤 9.2.3.5

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$3 (- \frac{1}{3} + 1 (\frac{64}{3})) - 4 (\frac{{(- 1)}^{4}}{4} - \frac{{(- 4)}^{4}}{4})$

解题步骤 9.2.3.6

将 $\frac{64}{3}$ 乘以 $1$ 。

$3 (- \frac{1}{3} + \frac{64}{3}) - 4 (\frac{{(- 1)}^{4}}{4} - \frac{{(- 4)}^{4}}{4})$

解题步骤 9.2.3.7

在公分母上合并分子。

$3 \frac{- 1 + 64}{3} - 4 (\frac{{(- 1)}^{4}}{4} - \frac{{(- 4)}^{4}}{4})$

解题步骤 9.2.3.8

将 $- 1$ 和 $64$ 相加。

$3 (\frac{63}{3}) - 4 (\frac{{(- 1)}^{4}}{4} - \frac{{(- 4)}^{4}}{4})$

解题步骤 9.2.3.9

约去 $63$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.3.9.1

从 $63$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 \frac{3 \cdot 21}{3} - 4 (\frac{{(- 1)}^{4}}{4} - \frac{{(- 4)}^{4}}{4})$

解题步骤 9.2.3.9.2

约去公因数。

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解题步骤 9.2.3.9.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 \frac{3 \cdot 21}{3 (1)} - 4 (\frac{{(- 1)}^{4}}{4} - \frac{{(- 4)}^{4}}{4})$

解题步骤 9.2.3.9.2.2

约去公因数。

$3 \frac{3 \cdot 21}{3 \cdot 1} - 4 (\frac{{(- 1)}^{4}}{4} - \frac{{(- 4)}^{4}}{4})$

解题步骤 9.2.3.9.2.3

重写表达式。

$3 (\frac{21}{1}) - 4 (\frac{{(- 1)}^{4}}{4} - \frac{{(- 4)}^{4}}{4})$

解题步骤 9.2.3.9.2.4

用 $21$ 除以 $1$ 。

$3 \cdot 21 - 4 (\frac{{(- 1)}^{4}}{4} - \frac{{(- 4)}^{4}}{4})$

解题步骤 9.2.3.10

将 $3$ 乘以 $21$ 。

$63 - 4 (\frac{{(- 1)}^{4}}{4} - \frac{{(- 4)}^{4}}{4})$

解题步骤 9.2.3.11

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$63 - 4 (\frac{1}{4} - \frac{{(- 4)}^{4}}{4})$

解题步骤 9.2.3.12

对 $- 4$ 进行 $4$ 次方运算。

$63 - 4 (\frac{1}{4} - \frac{256}{4})$

解题步骤 9.2.3.13

约去 $256$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.3.13.1

从 $256$ 中分解出因数 $4$ 。

$63 - 4 (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 64}{4})$

解题步骤 9.2.3.13.2

约去公因数。

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解题步骤 9.2.3.13.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$63 - 4 (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 64}{4 (1)})$

解题步骤 9.2.3.13.2.2

约去公因数。

$63 - 4 (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 64}{4 \cdot 1})$

解题步骤 9.2.3.13.2.3

重写表达式。

$63 - 4 (\frac{1}{4} - \frac{64}{1})$

解题步骤 9.2.3.13.2.4

用 $64$ 除以 $1$ 。

$63 - 4 (\frac{1}{4} - 1 \cdot 64)$

解题步骤 9.2.3.14

将 $- 1$ 乘以 $64$ 。

$63 - 4 (\frac{1}{4} - 64)$

解题步骤 9.2.3.15

要将 $- 64$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$63 - 4 (\frac{1}{4} - 64 \cdot \frac{4}{4})$

解题步骤 9.2.3.16

组合 $- 64$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$63 - 4 (\frac{1}{4} + \frac{- 64 \cdot 4}{4})$

解题步骤 9.2.3.17

在公分母上合并分子。

$63 - 4 \frac{1 - 64 \cdot 4}{4}$

解题步骤 9.2.3.18

化简分子。

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解题步骤 9.2.3.18.1

将 $- 64$ 乘以 $4$ 。

$63 - 4 \frac{1 - 256}{4}$

解题步骤 9.2.3.18.2

从 $1$ 中减去 $256$ 。

$63 - 4 (\frac{- 255}{4})$

解题步骤 9.2.3.19

将负号移到分数的前面。

$63 - 4 (- \frac{255}{4})$

解题步骤 9.2.3.20

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$63 + 4 (\frac{255}{4})$

解题步骤 9.2.3.21

组合 $4$ 和 $\frac{255}{4}$ 。

$63 + \frac{4 \cdot 255}{4}$

解题步骤 9.2.3.22

将 $4$ 乘以 $255$ 。

$63 + \frac{1020}{4}$

解题步骤 9.2.3.23

约去 $1020$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.3.23.1

从 $1020$ 中分解出因数 $4$ 。

$63 + \frac{4 \cdot 255}{4}$

解题步骤 9.2.3.23.2

约去公因数。

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解题步骤 9.2.3.23.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$63 + \frac{4 \cdot 255}{4 (1)}$

解题步骤 9.2.3.23.2.2

约去公因数。

$63 + \frac{4 \cdot 255}{4 \cdot 1}$

解题步骤 9.2.3.23.2.3

重写表达式。

$63 + \frac{255}{1}$

解题步骤 9.2.3.23.2.4

用 $255$ 除以 $1$ 。

$63 + 255$

解题步骤 9.2.3.24

将 $63$ 和 $255$ 相加。

$318$

解题步骤 10

微积分学 示例

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