微积分学示例

$\frac{2 x^{2}}{2 - x^{2}}$

解题步骤 1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2 x^{2}}{2 - x^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2 - x^{2}}]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2 - x^{2}}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = 2 - x^{2}$ 。

$2 \frac{(2 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 \frac{(2 - x^{2}) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.2

将 $2$ 移到 $2 - x^{2}$ 的左侧。

$2 \frac{2 \cdot (2 - x^{2}) x - x^{2} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3

根据加法法则， $2 - x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

$2 \frac{2 (2 - x^{2}) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.4

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 \frac{2 (2 - x^{2}) x - x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.5

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 相加。

$2 \frac{2 (2 - x^{2}) x - x^{2} \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.6

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$2 \frac{2 (2 - x^{2}) x - x^{2} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7

乘。

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解题步骤 3.7.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$2 \frac{2 (2 - x^{2}) x + 1 x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7.2

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$2 \frac{2 (2 - x^{2}) x + x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 \frac{2 (2 - x^{2}) x + x^{2} (2 x)}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 4

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.1

移动 $x$ 。

$2 \frac{2 (2 - x^{2}) x + x \cdot x^{2} \cdot 2}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 4.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 4.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 \frac{2 (2 - x^{2}) x + x^{1} x^{2} \cdot 2}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 \frac{2 (2 - x^{2}) x + x^{1 + 2} \cdot 2}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 4.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$2 \frac{2 (2 - x^{2}) x + x^{3} \cdot 2}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 5

将 $2$ 移到 $x^{3}$ 的左侧。

$2 \frac{2 (2 - x^{2}) x + 2 \cdot x^{3}}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 6

组合 $2$ 和 $\frac{2 (2 - x^{2}) x + 2 x^{3}}{{(2 - x^{2})}^{2}}$ 。

$\frac{2 (2 (2 - x^{2}) x + 2 x^{3})}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

运用分配律。

$\frac{2 ((2 \cdot 2 + 2 (- x^{2})) x + 2 x^{3})}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 7.2

运用分配律。

$\frac{2 (2 \cdot 2 x + 2 (- x^{2}) x + 2 x^{3})}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 7.3

运用分配律。

$\frac{2 (2 \cdot 2 x) + 2 (2 (- x^{2}) x) + 2 (2 x^{3})}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 7.4

化简分子。

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解题步骤 7.4.1

化简每一项。

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解题步骤 7.4.1.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 (4 x) + 2 (2 (- x^{2}) x) + 2 (2 x^{3})}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 7.4.1.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{8 x + 2 (2 (- x^{2}) x) + 2 (2 x^{3})}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 7.4.1.3

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 7.4.1.3.1

移动 $x$ 。

$\frac{8 x + 2 (2 (- (x \cdot x^{2}))) + 2 (2 x^{3})}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 7.4.1.3.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 7.4.1.3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{8 x + 2 (2 (- (x^{1} x^{2}))) + 2 (2 x^{3})}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 7.4.1.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{8 x + 2 (2 (- x^{1 + 2})) + 2 (2 x^{3})}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 7.4.1.3.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{8 x + 2 (2 (- x^{3})) + 2 (2 x^{3})}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 7.4.1.4

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{8 x + 2 (- 2 x^{3}) + 2 (2 x^{3})}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 7.4.1.5

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{8 x - 4 x^{3} + 2 (2 x^{3})}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 7.4.1.6

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{8 x - 4 x^{3} + 4 x^{3}}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 7.4.2

合并 $8 x - 4 x^{3} + 4 x^{3}$ 中相反的项。

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解题步骤 7.4.2.1

将 $- 4 x^{3}$ 和 $4 x^{3}$ 相加。

$\frac{8 x + 0}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 7.4.2.2

将 $8 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{8 x}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 7.5

重新排序项。

$\frac{8 x}{{(- x^{2} + 2)}^{2}}$

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