微积分学示例

$y = (x^{2} + x + 1) (x - 1)$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2} + x + 1$ 且 $g (x) = x - 1$ 。

$(x^{2} + x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$(x^{2} + x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(x^{2} + x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]$

解题步骤 2.3

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(x^{2} + x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]$

解题步骤 2.4

化简表达式。

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解题步骤 2.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$(x^{2} + x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]$

解题步骤 2.4.2

将 $x^{2} + x + 1$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} + x + 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]$

解题步骤 2.5

根据加法法则， $x^{2} + x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$x^{2} + x + 1 + (x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$x^{2} + x + 1 + (x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 2.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x^{2} + x + 1 + (x - 1) (2 x + 1 + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 2.8

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x^{2} + x + 1 + (x - 1) (2 x + 1 + 0)$

解题步骤 2.9

将 $2 x + 1$ 和 $0$ 相加。

$x^{2} + x + 1 + (x - 1) (2 x + 1)$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$x^{2} + x + 1 + (x - 1) (2 x) + (x - 1) \cdot 1$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$x^{2} + x + 1 + x (2 x) - 1 (2 x) + (x - 1) \cdot 1$

解题步骤 3.3

运用分配律。

$x^{2} + x + 1 + x (2 x) - 1 (2 x) + x \cdot 1 - 1 \cdot 1$

解题步骤 3.4

合并项。

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解题步骤 3.4.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{2} + x + 1 + 2 (x^{1} x) - 1 (2 x) + x \cdot 1 - 1 \cdot 1$

解题步骤 3.4.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{2} + x + 1 + 2 (x^{1} x^{1}) - 1 (2 x) + x \cdot 1 - 1 \cdot 1$

解题步骤 3.4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{2} + x + 1 + 2 x^{1 + 1} - 1 (2 x) + x \cdot 1 - 1 \cdot 1$

解题步骤 3.4.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x^{2} + x + 1 + 2 x^{2} - 1 (2 x) + x \cdot 1 - 1 \cdot 1$

解题步骤 3.4.5

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$x^{2} + x + 1 + 2 x^{2} - 2 x + x \cdot 1 - 1 \cdot 1$

解题步骤 3.4.6

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} + x + 1 + 2 x^{2} - 2 x + x - 1 \cdot 1$

解题步骤 3.4.7

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} + x + 1 + 2 x^{2} - 2 x + x - 1$

解题步骤 3.4.8

将 $- 2 x$ 和 $x$ 相加。

$x^{2} + x + 1 + 2 x^{2} - x - 1$

解题步骤 3.4.9

将 $x^{2}$ 和 $2 x^{2}$ 相加。

$3 x^{2} + x + 1 - x - 1$

解题步骤 3.4.10

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$3 x^{2} + 0 + 1 - 1$

解题步骤 3.4.11

将 $3 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$3 x^{2} + 1 - 1$

解题步骤 3.4.12

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$3 x^{2} + 0$

解题步骤 3.4.13

将 $3 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$3 x^{2}$

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