微积分学示例

$- 13 \sin (x) + \frac{5}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 1

将 $- 13 \sin (x) + \frac{5}{\cos^{2} (x)}$ 书写为一个函数。

$f (x) = - 13 \sin (x) + \frac{5}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int - 13 \sin (x) + \frac{5}{\cos^{2} (x)} d x$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int - 13 \sin (x) d x + \int \frac{5}{\cos^{2} (x)} d x$

解题步骤 5

由于 $- 13$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 13$ 移到积分外。

$- 13 \int \sin (x) d x + \int \frac{5}{\cos^{2} (x)} d x$

解题步骤 6

$\sin (x)$ 对 $x$ 的积分为 $- \cos (x)$ 。

$- 13 (- \cos (x) + C) + \int \frac{5}{\cos^{2} (x)} d x$

解题步骤 7

由于 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$- 13 (- \cos (x) + C) + 5 \int \frac{1}{\cos^{2} (x)} d x$

解题步骤 8

将 $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ 转换成 $\sec^{2} (x)$ 。

$- 13 (- \cos (x) + C) + 5 \int \sec^{2} (x) d x$

解题步骤 9

因为 $\tan (x)$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ ，所以 $\sec^{2} (x)$ 的积分为 $\tan (x)$ 。

$- 13 (- \cos (x) + C) + 5 (\tan (x) + C)$

解题步骤 10

化简。

$13 \cos (x) + 5 \tan (x) + C$

解题步骤 11

答案是函数 $f (x) = - 13 \sin (x) + \frac{5}{\cos^{2} (x)}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $13 \cos (x) + 5 \tan (x) + C$

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