微积分学示例

$\frac{\sqrt[3]{x}}{e^{x}} + 1$

解题步骤 1

将 $\frac{\sqrt[3]{x}}{e^{x}} + 1$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{\sqrt[3]{x}}{e^{x}} + 1$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1

根据加法法则， $\frac{\sqrt[3]{x}}{e^{x}} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt[3]{x}}{e^{x}}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt[3]{x}}{e^{x}}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt[3]{x}}{e^{x}}]$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{1}{3}}}{e^{x}}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.1.2.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ 且 $g (x) = e^{x}$ 。

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] - x^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.1.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$\frac{e^{x} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}) - x^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.1.2.4

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{e^{x} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}) - x^{\frac{1}{3}} e^{x}}{{(e^{x})}^{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.1.2.5

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{e^{x} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) - x^{\frac{1}{3}} e^{x}}{{(e^{x})}^{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.1.2.6

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{e^{x} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) - x^{\frac{1}{3}} e^{x}}{{(e^{x})}^{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.1.2.7

在公分母上合并分子。

$\frac{e^{x} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}) - x^{\frac{1}{3}} e^{x}}{{(e^{x})}^{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.1.2.8

化简分子。

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解题步骤 2.1.2.8.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{e^{x} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}) - x^{\frac{1}{3}} e^{x}}{{(e^{x})}^{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.1.2.8.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$\frac{e^{x} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}) - x^{\frac{1}{3}} e^{x}}{{(e^{x})}^{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.1.2.9

将负号移到分数的前面。

$\frac{e^{x} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}) - x^{\frac{1}{3}} e^{x}}{{(e^{x})}^{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.1.2.10

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{- \frac{2}{3}}$ 。

$\frac{e^{x} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3} - x^{\frac{1}{3}} e^{x}}{{(e^{x})}^{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.1.2.11

组合 $e^{x}$ 和 $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ 。

$\frac{\frac{e^{x} x^{- \frac{2}{3}}}{3} - x^{\frac{1}{3}} e^{x}}{{(e^{x})}^{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.1.2.12

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{2}{3}}$ 移动到分母。

$\frac{\frac{e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}} - x^{\frac{1}{3}} e^{x}}{{(e^{x})}^{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.1.2.13

将 ${(e^{x})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.1.2.13.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{\frac{e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}} - x^{\frac{1}{3}} e^{x}}{e^{x \cdot 2}} + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.1.2.13.2

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{\frac{e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}} - x^{\frac{1}{3}} e^{x}}{e^{2 x}} + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.1.2.14

将 $\frac{\frac{e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}} - x^{\frac{1}{3}} e^{x}}{e^{2 x}}$ 乘以 $\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 。

$\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{\frac{e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}} - x^{\frac{1}{3}} e^{x}}{e^{2 x}} + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.1.2.15

合并。

$\frac{3 x^{\frac{2}{3}} (\frac{e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}} - x^{\frac{1}{3}} e^{x})}{3 x^{\frac{2}{3}} e^{2 x}} + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.1.2.16

运用分配律。

$\frac{3 x^{\frac{2}{3}} \frac{e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 3 x^{\frac{2}{3}} (- x^{\frac{1}{3}} e^{x})}{3 x^{\frac{2}{3}} e^{2 x}} + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.1.2.17

约去 $3 x^{\frac{2}{3}}$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.2.17.1

约去公因数。

$\frac{3 x^{\frac{2}{3}} \frac{e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 3 x^{\frac{2}{3}} (- x^{\frac{1}{3}} e^{x})}{3 x^{\frac{2}{3}} e^{2 x}} + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.1.2.17.2

重写表达式。

$\frac{e^{x} + 3 x^{\frac{2}{3}} (- x^{\frac{1}{3}} e^{x})}{3 x^{\frac{2}{3}} e^{2 x}} + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.1.2.18

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{e^{x} - 3 x^{\frac{2}{3}} (x^{\frac{1}{3}} e^{x})}{3 x^{\frac{2}{3}} e^{2 x}} + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.1.2.19

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{e^{x} - 3 x^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}} e^{2 x}} + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.1.2.20

在公分母上合并分子。

$\frac{e^{x} - 3 x^{\frac{1 + 2}{3}} e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}} e^{2 x}} + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.1.2.21

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{e^{x} - 3 x^{\frac{3}{3}} e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}} e^{2 x}} + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.1.2.22

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.2.22.1

约去公因数。

$\frac{e^{x} - 3 x^{\frac{3}{3}} e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}} e^{2 x}} + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.1.2.22.2

重写表达式。

$\frac{e^{x} - 3 x^{1} e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}} e^{2 x}} + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.1.2.23

化简。

$\frac{e^{x} - 3 x e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}} e^{2 x}} + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.1.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{e^{x} - 3 x e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}} e^{2 x}} + 0$

解题步骤 2.1.4

化简。

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解题步骤 2.1.4.1

将 $\frac{e^{x} - 3 x e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}} e^{2 x}}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{e^{x} - 3 x e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}} e^{2 x}}$

解题步骤 2.1.4.2

重新排序项。

$\frac{- 3 e^{x} x + e^{x}}{3 e^{2 x} x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.1.4.3

从 $- 3 e^{x} x + e^{x}$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

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解题步骤 2.1.4.3.1

从 $- 3 e^{x} x$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$\frac{e^{x} (- 3 x) + e^{x}}{3 e^{2 x} x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.1.4.3.2

乘以 $1$ 。

$\frac{e^{x} (- 3 x) + e^{x} \cdot 1}{3 e^{2 x} x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.1.4.3.3

从 $e^{x} (- 3 x) + e^{x} \cdot 1$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$\frac{e^{x} (- 3 x + 1)}{3 e^{2 x} x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.1.4.4

从 $e^{x} (- 3 x + 1)$ 中分解出因数 $e^{2 x}$ 。

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- 3 x + 1))}{3 e^{2 x} x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.1.4.5

约去公因数。

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解题步骤 2.1.4.5.1

从 $3 e^{2 x} x^{\frac{2}{3}}$ 中分解出因数 $e^{2 x}$ 。

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- 3 x + 1))}{e^{2 x} (3 x^{\frac{2}{3}})}$

解题步骤 2.1.4.5.2

约去公因数。

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- 3 x + 1))}{e^{2 x} (3 x^{\frac{2}{3}})}$

解题步骤 2.1.4.5.3

重写表达式。

$\frac{e^{- x} (- 3 x + 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.1.4.6

从 $- 3 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{e^{- x} (- (3 x) + 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.1.4.7

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$\frac{e^{- x} (- (3 x) - 1 (- 1))}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.1.4.8

从 $- (3 x) - 1 (- 1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{e^{- x} (- (3 x - 1))}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.1.4.9

将 $- (3 x - 1)$ 重写为 $- 1 (3 x - 1)$ 。

$\frac{e^{- x} (- 1 (3 x - 1))}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.1.4.10

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = - \frac{e^{- x} (3 x - 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.2

求二阶导数。

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解题步骤 2.2.1

因为 $- \frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{e^{- x} (3 x - 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{e^{- x} (3 x - 1)}{x^{\frac{2}{3}}}]$ 。

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{e^{- x} (3 x - 1)}{x^{\frac{2}{3}}}]$

解题步骤 2.2.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = e^{- x} (3 x - 1)$ 且 $g (x) = x^{\frac{2}{3}}$ 。

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [e^{- x} (3 x - 1)] - e^{- x} (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.2.3

将 ${(x^{\frac{2}{3}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [e^{- x} (3 x - 1)] - e^{- x} (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]}{x^{\frac{2}{3} \cdot 2}}$

解题步骤 2.2.3.2

乘以 $\frac{2}{3} \cdot 2$ 。

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解题步骤 2.2.3.2.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $2$ 。

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [e^{- x} (3 x - 1)] - e^{- x} (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]}{x^{\frac{2 \cdot 2}{3}}}$

解题步骤 2.2.3.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [e^{- x} (3 x - 1)] - e^{- x} (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]}{x^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.2.4

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = e^{- x}$ 且 $g (x) = 3 x - 1$ 。

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}} (e^{- x} \frac{d}{d x} [3 x - 1] + (3 x - 1) \frac{d}{d x} [e^{- x}]) - e^{- x} (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]}{x^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.2.5

求微分。

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解题步骤 2.2.5.1

根据加法法则， $3 x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}} (e^{- x} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 x - 1) \frac{d}{d x} [e^{- x}]) - e^{- x} (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]}{x^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.2.5.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}} (e^{- x} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 x - 1) \frac{d}{d x} [e^{- x}]) - e^{- x} (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]}{x^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.2.5.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}} (e^{- x} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 x - 1) \frac{d}{d x} [e^{- x}]) - e^{- x} (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]}{x^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.2.5.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}} (e^{- x} (3 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 x - 1) \frac{d}{d x} [e^{- x}]) - e^{- x} (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]}{x^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.2.5.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}} (e^{- x} (3 + 0) + (3 x - 1) \frac{d}{d x} [e^{- x}]) - e^{- x} (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]}{x^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.2.5.6

化简表达式。

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解题步骤 2.2.5.6.1

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}} (e^{- x} \cdot 3 + (3 x - 1) \frac{d}{d x} [e^{- x}]) - e^{- x} (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]}{x^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.2.5.6.2

将 $3$ 移到 $e^{- x}$ 的左侧。

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}} (3 \cdot e^{- x} + (3 x - 1) \frac{d}{d x} [e^{- x}]) - e^{- x} (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]}{x^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.2.6

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x$ 。

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解题步骤 2.2.6.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- x$ 。

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}} (3 e^{- x} + (3 x - 1) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])) - e^{- x} (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]}{x^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.2.6.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}} (3 e^{- x} + (3 x - 1) (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])) - e^{- x} (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]}{x^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.2.6.3

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}} (3 e^{- x} + (3 x - 1) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])) - e^{- x} (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]}{x^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.2.7

求微分。

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解题步骤 2.2.7.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}} (3 e^{- x} + (3 x - 1) e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) - e^{- x} (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]}{x^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.2.7.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}} (3 e^{- x} + (3 x - 1) e^{- x} (- 1 \cdot 1)) - e^{- x} (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]}{x^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.2.7.3

化简表达式。

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解题步骤 2.2.7.3.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}} (3 e^{- x} + (3 x - 1) e^{- x} \cdot - 1) - e^{- x} (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]}{x^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.2.7.3.2

将 $- 1$ 移到 $(3 x - 1) e^{- x}$ 的左侧。

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}} (3 e^{- x} - 1 \cdot ((3 x - 1) e^{- x})) - e^{- x} (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]}{x^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.2.7.3.3

将 $- 1 (3 x - 1)$ 重写为 $- (3 x - 1)$ 。

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}} (3 e^{- x} - (3 x - 1) e^{- x}) - e^{- x} (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]}{x^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.2.7.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{2}{3}$ 。

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}} (3 e^{- x} - (3 x - 1) e^{- x}) - e^{- x} (3 x - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})}{x^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.2.8

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}} (3 e^{- x} - (3 x - 1) e^{- x}) - e^{- x} (3 x - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})}{x^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.2.9

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}} (3 e^{- x} - (3 x - 1) e^{- x}) - e^{- x} (3 x - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})}{x^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.2.10

在公分母上合并分子。

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}} (3 e^{- x} - (3 x - 1) e^{- x}) - e^{- x} (3 x - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})}{x^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.2.11

化简分子。

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解题步骤 2.2.11.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}} (3 e^{- x} - (3 x - 1) e^{- x}) - e^{- x} (3 x - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})}{x^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.2.11.2

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}} (3 e^{- x} - (3 x - 1) e^{- x}) - e^{- x} (3 x - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})}{x^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.2.12

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}} (3 e^{- x} - (3 x - 1) e^{- x}) - e^{- x} (3 x - 1) (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})}{x^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.2.13

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $x^{- \frac{1}{3}}$ 。

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}} (3 e^{- x} - (3 x - 1) e^{- x}) - e^{- x} (3 x - 1) \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}}{x^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.2.14

组合 $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ 和 $e^{- x}$ 。

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}} (3 e^{- x} - (3 x - 1) e^{- x}) - \frac{2 x^{- \frac{1}{3}} e^{- x}}{3} (3 x - 1)}{x^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.2.15

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{3}}$ 移动到分母。

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}} (3 e^{- x} - (3 x - 1) e^{- x}) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x - 1)}{x^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.2.16

将 $\frac{x^{\frac{2}{3}} (3 e^{- x} - (3 x - 1) e^{- x}) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x - 1)}{x^{\frac{4}{3}}}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$- \frac{x^{\frac{2}{3}} (3 e^{- x} - (3 x - 1) e^{- x}) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x - 1)}{x^{\frac{4}{3}} \cdot 3}$

解题步骤 2.2.17

将 $3$ 移到 $x^{\frac{4}{3}}$ 的左侧。

$- \frac{x^{\frac{2}{3}} (3 e^{- x} - (3 x - 1) e^{- x}) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x - 1)}{3 \cdot x^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.2.18

化简。

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解题步骤 2.2.18.1

运用分配律。

$- \frac{x^{\frac{2}{3}} (3 e^{- x} + (- (3 x) - - 1) e^{- x}) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x - 1)}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.2.18.2

运用分配律。

$- \frac{x^{\frac{2}{3}} (3 e^{- x} - (3 x) e^{- x} - - 1 e^{- x}) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x - 1)}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.2.18.3

运用分配律。

$- \frac{x^{\frac{2}{3}} (3 e^{- x}) + x^{\frac{2}{3}} (- (3 x) e^{- x}) + x^{\frac{2}{3}} (- - 1 e^{- x}) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x - 1)}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.2.18.4

运用分配律。

$- \frac{x^{\frac{2}{3}} (3 e^{- x}) + x^{\frac{2}{3}} (- (3 x) e^{- x}) + x^{\frac{2}{3}} (- - 1 e^{- x}) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.2.18.5

化简分子。

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解题步骤 2.2.18.5.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.18.5.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$- \frac{3 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} + x^{\frac{2}{3}} (- (3 x) e^{- x}) + x^{\frac{2}{3}} (- - 1 e^{- x}) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.2.18.5.1.2

使用乘法的交换性质重写。

$- \frac{3 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 1 \cdot 3 x^{\frac{2}{3}} (x e^{- x}) + x^{\frac{2}{3}} (- - 1 e^{- x}) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.2.18.5.1.3

通过指数相加将 $x^{\frac{2}{3}}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.2.18.5.1.3.1

移动 $x$ 。

$- \frac{3 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 1 \cdot 3 (x \cdot x^{\frac{2}{3}}) e^{- x} + x^{\frac{2}{3}} (- - 1 e^{- x}) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.2.18.5.1.3.2

将 $x$ 乘以 $x^{\frac{2}{3}}$ 。

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解题步骤 2.2.18.5.1.3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{3 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 1 \cdot 3 (x^{1} x^{\frac{2}{3}}) e^{- x} + x^{\frac{2}{3}} (- - 1 e^{- x}) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.2.18.5.1.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{3 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 1 \cdot 3 x^{1 + \frac{2}{3}} e^{- x} + x^{\frac{2}{3}} (- - 1 e^{- x}) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.2.18.5.1.3.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$- \frac{3 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 1 \cdot 3 x^{\frac{3}{3} + \frac{2}{3}} e^{- x} + x^{\frac{2}{3}} (- - 1 e^{- x}) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.2.18.5.1.3.4

在公分母上合并分子。

$- \frac{3 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 1 \cdot 3 x^{\frac{3 + 2}{3}} e^{- x} + x^{\frac{2}{3}} (- - 1 e^{- x}) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.2.18.5.1.3.5

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$- \frac{3 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 1 \cdot 3 x^{\frac{5}{3}} e^{- x} + x^{\frac{2}{3}} (- - 1 e^{- x}) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.2.18.5.1.4

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{3 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 3 x^{\frac{5}{3}} e^{- x} + x^{\frac{2}{3}} (- - 1 e^{- x}) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.2.18.5.1.5

使用乘法的交换性质重写。

$- \frac{3 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 3 x^{\frac{5}{3}} e^{- x} - 1 \cdot - 1 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.2.18.5.1.6

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{3 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 3 x^{\frac{5}{3}} e^{- x} + 1 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.2.18.5.1.7

将 $x^{\frac{2}{3}}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{3 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 3 x^{\frac{5}{3}} e^{- x} + x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.2.18.5.1.8

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.18.5.1.8.1

将 $- \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ 中前置负号移到分子中。

$- \frac{3 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 3 x^{\frac{5}{3}} e^{- x} + x^{\frac{2}{3}} e^{- x} + \frac{- 2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.2.18.5.1.8.2

从 $3 x^{\frac{1}{3}}$ 中分解出因数 $3$ 。

$- \frac{3 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 3 x^{\frac{5}{3}} e^{- x} + x^{\frac{2}{3}} e^{- x} + \frac{- 2 e^{- x}}{3 (x^{\frac{1}{3}})} (3 x) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.2.18.5.1.8.3

从 $3 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$- \frac{3 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 3 x^{\frac{5}{3}} e^{- x} + x^{\frac{2}{3}} e^{- x} + \frac{- 2 e^{- x}}{3 (x^{\frac{1}{3}})} (3 (x)) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.2.18.5.1.8.4

约去公因数。

解题步骤 2.2.18.5.1.8.5

重写表达式。

$- \frac{3 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 3 x^{\frac{5}{3}} e^{- x} + x^{\frac{2}{3}} e^{- x} + \frac{- 2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{3}}} x - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.2.18.5.1.9

组合 $\frac{- 2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{3}}}$ 和 $x$ 。

$- \frac{3 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 3 x^{\frac{5}{3}} e^{- x} + x^{\frac{2}{3}} e^{- x} + \frac{- 2 e^{- x} x}{x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.2.18.5.1.10

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $x^{\frac{1}{3}}$ 移动到分子。

$- \frac{3 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 3 x^{\frac{5}{3}} e^{- x} + x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 2 e^{- x} x \cdot x^{- \frac{1}{3}} - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.2.18.5.1.11

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{1}{3}}$ 。

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解题步骤 2.2.18.5.1.11.1

移动 $x^{- \frac{1}{3}}$ 。

$- \frac{3 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 3 x^{\frac{5}{3}} e^{- x} + x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 2 e^{- x} (x^{- \frac{1}{3}} x) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.2.18.5.1.11.2

将 $x^{- \frac{1}{3}}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.2.18.5.1.11.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{3 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 3 x^{\frac{5}{3}} e^{- x} + x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 2 e^{- x} (x^{- \frac{1}{3}} x^{1}) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.2.18.5.1.11.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{3 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 3 x^{\frac{5}{3}} e^{- x} + x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 2 e^{- x} x^{- \frac{1}{3} + 1} - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.2.18.5.1.11.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$- \frac{3 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 3 x^{\frac{5}{3}} e^{- x} + x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 2 e^{- x} x^{- \frac{1}{3} + \frac{3}{3}} - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.2.18.5.1.11.4

在公分母上合并分子。

$- \frac{3 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 3 x^{\frac{5}{3}} e^{- x} + x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 2 e^{- x} x^{\frac{- 1 + 3}{3}} - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.2.18.5.1.11.5

将 $- 1$ 和 $3$ 相加。

$- \frac{3 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 3 x^{\frac{5}{3}} e^{- x} + x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 2 e^{- x} x^{\frac{2}{3}} - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.2.18.5.1.12

乘以 $- \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 2.2.18.5.1.12.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{3 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 3 x^{\frac{5}{3}} e^{- x} + x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 2 e^{- x} x^{\frac{2}{3}} + 1 \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.2.18.5.1.12.2

将 $\frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{3 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 3 x^{\frac{5}{3}} e^{- x} + x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 2 e^{- x} x^{\frac{2}{3}} + \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.2.18.5.2

将 $3 x^{\frac{2}{3}} e^{- x}$ 和 $x^{\frac{2}{3}} e^{- x}$ 相加。

$- \frac{4 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 3 x^{\frac{5}{3}} e^{- x} - 2 e^{- x} x^{\frac{2}{3}} + \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.2.18.5.3

从 $4 x^{\frac{2}{3}} e^{- x}$ 中减去 $2 e^{- x} x^{\frac{2}{3}}$ 。

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解题步骤 2.2.18.5.3.1

移动 $e^{- x}$ 。

$- \frac{4 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 2 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 3 x^{\frac{5}{3}} e^{- x} + \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.2.18.5.3.2

从 $4 x^{\frac{2}{3}} e^{- x}$ 中减去 $2 x^{\frac{2}{3}} e^{- x}$ 。

$- \frac{2 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 3 x^{\frac{5}{3}} e^{- x} + \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.2.18.6

合并项。

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解题步骤 2.2.18.6.1

将 $\frac{2 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 3 x^{\frac{5}{3}} e^{- x} + \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ 乘以 $\frac{3 x^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ 。

$- (\frac{3 x^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{2 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 3 x^{\frac{5}{3}} e^{- x} + \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{3 x^{\frac{4}{3}}})$

解题步骤 2.2.18.6.2

合并。

$- \frac{3 x^{\frac{1}{3}} (2 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 3 x^{\frac{5}{3}} e^{- x} + \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}})}{3 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{4}{3}})}$

解题步骤 2.2.18.6.3

运用分配律。

$- \frac{3 x^{\frac{1}{3}} (2 x^{\frac{2}{3}} e^{- x}) + 3 x^{\frac{1}{3}} (- 3 x^{\frac{5}{3}} e^{- x}) + 3 x^{\frac{1}{3}} \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{3 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{4}{3}})}$

解题步骤 2.2.18.6.4

约去 $3 x^{\frac{1}{3}}$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.18.6.4.1

约去公因数。

解题步骤 2.2.18.6.4.2

重写表达式。

$- \frac{3 x^{\frac{1}{3}} (2 x^{\frac{2}{3}} e^{- x}) + 3 x^{\frac{1}{3}} (- 3 x^{\frac{5}{3}} e^{- x}) + 2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{4}{3}})}$

解题步骤 2.2.18.6.5

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{6 x^{\frac{1}{3}} (x^{\frac{2}{3}} e^{- x}) + 3 x^{\frac{1}{3}} (- 3 x^{\frac{5}{3}} e^{- x}) + 2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{4}{3}})}$

解题步骤 2.2.18.6.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{6 x^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} e^{- x} + 3 x^{\frac{1}{3}} (- 3 x^{\frac{5}{3}} e^{- x}) + 2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{4}{3}})}$

解题步骤 2.2.18.6.7

在公分母上合并分子。

$- \frac{6 x^{\frac{2 + 1}{3}} e^{- x} + 3 x^{\frac{1}{3}} (- 3 x^{\frac{5}{3}} e^{- x}) + 2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{4}{3}})}$

解题步骤 2.2.18.6.8

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{6 x^{\frac{3}{3}} e^{- x} + 3 x^{\frac{1}{3}} (- 3 x^{\frac{5}{3}} e^{- x}) + 2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{4}{3}})}$

解题步骤 2.2.18.6.9

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.18.6.9.1

约去公因数。

$- \frac{6 x^{\frac{3}{3}} e^{- x} + 3 x^{\frac{1}{3}} (- 3 x^{\frac{5}{3}} e^{- x}) + 2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{4}{3}})}$

解题步骤 2.2.18.6.9.2

重写表达式。

$- \frac{6 x^{1} e^{- x} + 3 x^{\frac{1}{3}} (- 3 x^{\frac{5}{3}} e^{- x}) + 2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{4}{3}})}$

解题步骤 2.2.18.6.10

化简。

$- \frac{6 x e^{- x} + 3 x^{\frac{1}{3}} (- 3 x^{\frac{5}{3}} e^{- x}) + 2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{4}{3}})}$

解题步骤 2.2.18.6.11

将 $- 3$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{6 x e^{- x} - 9 x^{\frac{1}{3}} (x^{\frac{5}{3}} e^{- x}) + 2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{4}{3}})}$

解题步骤 2.2.18.6.12

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{6 x e^{- x} - 9 x^{\frac{5}{3} + \frac{1}{3}} e^{- x} + 2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{4}{3}})}$

解题步骤 2.2.18.6.13

在公分母上合并分子。

$- \frac{6 x e^{- x} - 9 x^{\frac{5 + 1}{3}} e^{- x} + 2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{4}{3}})}$

解题步骤 2.2.18.6.14

将 $5$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{6 x e^{- x} - 9 x^{\frac{6}{3}} e^{- x} + 2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{4}{3}})}$

解题步骤 2.2.18.6.15

约去 $6$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.18.6.15.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$- \frac{6 x e^{- x} - 9 x^{\frac{3 \cdot 2}{3}} e^{- x} + 2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{4}{3}})}$

解题步骤 2.2.18.6.15.2

约去公因数。

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解题步骤 2.2.18.6.15.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$- \frac{6 x e^{- x} - 9 x^{\frac{3 \cdot 2}{3 (1)}} e^{- x} + 2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{4}{3}})}$

解题步骤 2.2.18.6.15.2.2

约去公因数。

$- \frac{6 x e^{- x} - 9 x^{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1}} e^{- x} + 2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{4}{3}})}$

解题步骤 2.2.18.6.15.2.3

重写表达式。

$- \frac{6 x e^{- x} - 9 x^{\frac{2}{1}} e^{- x} + 2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{4}{3}})}$

解题步骤 2.2.18.6.15.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$- \frac{6 x e^{- x} - 9 x^{2} e^{- x} + 2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{4}{3}})}$

解题步骤 2.2.18.6.16

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{6 x e^{- x} - 9 x^{2} e^{- x} + 2 e^{- x}}{9 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.2.18.6.17

通过指数相加将 $x^{\frac{1}{3}}$ 乘以 $x^{\frac{4}{3}}$ 。

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解题步骤 2.2.18.6.17.1

移动 $x^{\frac{4}{3}}$ 。

$- \frac{6 x e^{- x} - 9 x^{2} e^{- x} + 2 e^{- x}}{9 (x^{\frac{4}{3}} x^{\frac{1}{3}})}$

解题步骤 2.2.18.6.17.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{6 x e^{- x} - 9 x^{2} e^{- x} + 2 e^{- x}}{9 x^{\frac{4}{3} + \frac{1}{3}}}$

解题步骤 2.2.18.6.17.3

在公分母上合并分子。

$- \frac{6 x e^{- x} - 9 x^{2} e^{- x} + 2 e^{- x}}{9 x^{\frac{4 + 1}{3}}}$

解题步骤 2.2.18.6.17.4

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{6 x e^{- x} - 9 x^{2} e^{- x} + 2 e^{- x}}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 2.2.18.7

化简分子。

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解题步骤 2.2.18.7.1

从 $6 x e^{- x} - 9 x^{2} e^{- x} + 2 e^{- x}$ 中分解出因数 $e^{- x}$ 。

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解题步骤 2.2.18.7.1.1

从 $6 x e^{- x}$ 中分解出因数 $e^{- x}$ 。

$- \frac{e^{- x} (6 x) - 9 x^{2} e^{- x} + 2 e^{- x}}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 2.2.18.7.1.2

从 $- 9 x^{2} e^{- x}$ 中分解出因数 $e^{- x}$ 。

$- \frac{e^{- x} (6 x) + e^{- x} (- 9 x^{2}) + 2 e^{- x}}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 2.2.18.7.1.3

从 $2 e^{- x}$ 中分解出因数 $e^{- x}$ 。

$- \frac{e^{- x} (6 x) + e^{- x} (- 9 x^{2}) + e^{- x} \cdot 2}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 2.2.18.7.1.4

从 $e^{- x} (6 x) + e^{- x} (- 9 x^{2})$ 中分解出因数 $e^{- x}$ 。

$- \frac{e^{- x} (6 x - 9 x^{2}) + e^{- x} \cdot 2}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 2.2.18.7.1.5

从 $e^{- x} (6 x - 9 x^{2}) + e^{- x} \cdot 2$ 中分解出因数 $e^{- x}$ 。

$- \frac{e^{- x} (6 x - 9 x^{2} + 2)}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 2.2.18.7.2

重新排序项。

$- \frac{e^{- x} (- 9 x^{2} + 6 x + 2)}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 2.2.18.8

从 $- 9 x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- \frac{e^{- x} (- (9 x^{2}) + 6 x + 2)}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 2.2.18.9

从 $6 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- \frac{e^{- x} (- (9 x^{2}) - (- 6 x) + 2)}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 2.2.18.10

从 $- (9 x^{2}) - (- 6 x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- \frac{e^{- x} (- (9 x^{2} - 6 x) + 2)}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 2.2.18.11

将 $2$ 重写为 $- 1 (- 2)$ 。

$- \frac{e^{- x} (- (9 x^{2} - 6 x) - 1 (- 2))}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 2.2.18.12

从 $- (9 x^{2} - 6 x) - 1 (- 2)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- \frac{e^{- x} (- (9 x^{2} - 6 x - 2))}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 2.2.18.13

将 $- (9 x^{2} - 6 x - 2)$ 重写为 $- 1 (9 x^{2} - 6 x - 2)$ 。

$- \frac{e^{- x} (- 1 (9 x^{2} - 6 x - 2))}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 2.2.18.14

将负号移到分数的前面。

$- - \frac{e^{- x} (9 x^{2} - 6 x - 2)}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 2.2.18.15

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 \frac{e^{- x} (9 x^{2} - 6 x - 2)}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 2.2.18.16

将 $\frac{e^{- x} (9 x^{2} - 6 x - 2)}{9 x^{\frac{5}{3}}}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{e^{- x} (9 x^{2} - 6 x - 2)}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 2.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $\frac{e^{- x} (9 x^{2} - 6 x - 2)}{9 x^{\frac{5}{3}}}$ 。

$\frac{e^{- x} (9 x^{2} - 6 x - 2)}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 3

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{e^{- x} (9 x^{2} - 6 x - 2)}{9 x^{\frac{5}{3}}} = 0$ 。

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解题步骤 3.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{e^{- x} (9 x^{2} - 6 x - 2)}{9 x^{\frac{5}{3}}} = 0$

解题步骤 3.2

将分子设为等于零。

$e^{- x} (9 x^{2} - 6 x - 2) = 0$

解题步骤 3.3

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 3.3.1

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$e^{- x} = 0$

$9 x^{2} - 6 x - 2 = 0$

解题步骤 3.3.2

将 $e^{- x}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.3.2.1

将 $e^{- x}$ 设为等于 $0$ 。

$e^{- x} = 0$

解题步骤 3.3.2.2

求解 $x$ 的 $e^{- x} = 0$ 。

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解题步骤 3.3.2.2.1

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

解题步骤 3.3.2.2.2

因为 $\ln (0)$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 3.3.2.2.3

$e^{- x} = 0$ 无解

无解

解题步骤 3.3.3

将 $9 x^{2} - 6 x - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.3.3.1

将 $9 x^{2} - 6 x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$9 x^{2} - 6 x - 2 = 0$

解题步骤 3.3.3.2

求解 $x$ 的 $9 x^{2} - 6 x - 2 = 0$ 。

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解题步骤 3.3.3.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 3.3.3.2.2

将 $a = 9$ 、 $b = - 6$ 和 $c = - 2$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (9 \cdot - 2)}}{2 \cdot 9}$

解题步骤 3.3.3.2.3

化简。

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解题步骤 3.3.3.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 3.3.3.2.3.1.1

对 $- 6$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 9 \cdot - 2}}{2 \cdot 9}$

解题步骤 3.3.3.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 9 \cdot - 2$ 。

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解题步骤 3.3.3.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $9$ 。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 36 \cdot - 2}}{2 \cdot 9}$

解题步骤 3.3.3.2.3.1.2.2

将 $- 36$ 乘以 $- 2$ 。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 72}}{2 \cdot 9}$

解题步骤 3.3.3.2.3.1.3

将 $36$ 和 $72$ 相加。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{108}}{2 \cdot 9}$

解题步骤 3.3.3.2.3.1.4

将 $108$ 重写为 $6^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 3.3.3.2.3.1.4.1

从 $108$ 中分解出因数 $36$ 。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 (3)}}{2 \cdot 9}$

解题步骤 3.3.3.2.3.1.4.2

将 $36$ 重写为 $6^{2}$ 。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{6^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 9}$

解题步骤 3.3.3.2.3.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{6 \pm 6 \sqrt{3}}{2 \cdot 9}$

解题步骤 3.3.3.2.3.2

将 $2$ 乘以 $9$ 。

$x = \frac{6 \pm 6 \sqrt{3}}{18}$

解题步骤 3.3.3.2.3.3

化简 $\frac{6 \pm 6 \sqrt{3}}{18}$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 3.3.3.2.4

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 3.3.3.2.4.1

化简分子。

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解题步骤 3.3.3.2.4.1.1

对 $- 6$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 9 \cdot - 2}}{2 \cdot 9}$

解题步骤 3.3.3.2.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 9 \cdot - 2$ 。

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解题步骤 3.3.3.2.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $9$ 。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 36 \cdot - 2}}{2 \cdot 9}$

解题步骤 3.3.3.2.4.1.2.2

将 $- 36$ 乘以 $- 2$ 。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 72}}{2 \cdot 9}$

解题步骤 3.3.3.2.4.1.3

将 $36$ 和 $72$ 相加。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{108}}{2 \cdot 9}$

解题步骤 3.3.3.2.4.1.4

将 $108$ 重写为 $6^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 3.3.3.2.4.1.4.1

从 $108$ 中分解出因数 $36$ 。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 (3)}}{2 \cdot 9}$

解题步骤 3.3.3.2.4.1.4.2

将 $36$ 重写为 $6^{2}$ 。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{6^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 9}$

解题步骤 3.3.3.2.4.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{6 \pm 6 \sqrt{3}}{2 \cdot 9}$

解题步骤 3.3.3.2.4.2

将 $2$ 乘以 $9$ 。

$x = \frac{6 \pm 6 \sqrt{3}}{18}$

解题步骤 3.3.3.2.4.3

化简 $\frac{6 \pm 6 \sqrt{3}}{18}$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 3.3.3.2.4.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = \frac{1 + \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 3.3.3.2.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 3.3.3.2.5.1

化简分子。

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解题步骤 3.3.3.2.5.1.1

对 $- 6$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 9 \cdot - 2}}{2 \cdot 9}$

解题步骤 3.3.3.2.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 9 \cdot - 2$ 。

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解题步骤 3.3.3.2.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $9$ 。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 36 \cdot - 2}}{2 \cdot 9}$

解题步骤 3.3.3.2.5.1.2.2

将 $- 36$ 乘以 $- 2$ 。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 72}}{2 \cdot 9}$

解题步骤 3.3.3.2.5.1.3

将 $36$ 和 $72$ 相加。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{108}}{2 \cdot 9}$

解题步骤 3.3.3.2.5.1.4

将 $108$ 重写为 $6^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 3.3.3.2.5.1.4.1

从 $108$ 中分解出因数 $36$ 。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 (3)}}{2 \cdot 9}$

解题步骤 3.3.3.2.5.1.4.2

将 $36$ 重写为 $6^{2}$ 。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{6^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 9}$

解题步骤 3.3.3.2.5.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{6 \pm 6 \sqrt{3}}{2 \cdot 9}$

解题步骤 3.3.3.2.5.2

将 $2$ 乘以 $9$ 。

$x = \frac{6 \pm 6 \sqrt{3}}{18}$

解题步骤 3.3.3.2.5.3

化简 $\frac{6 \pm 6 \sqrt{3}}{18}$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 3.3.3.2.5.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = \frac{1 - \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 3.3.3.2.6

最终答案为两个解的组合。

$x = \frac{1 + \sqrt{3}}{3}, \frac{1 - \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 3.3.4

最终解为使 $e^{- x} (9 x^{2} - 6 x - 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{1 + \sqrt{3}}{3}, \frac{1 - \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 4

求二阶导数为 $0$ 的点。

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解题步骤 4.1

将 $0.9106836$ 代入 $f (x) = \frac{\sqrt[3]{x}}{e^{x}} + 1$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 4.1.1

使用表达式中的 $0.9106836$ 替换变量 $x$ 。

$f (0.9106836) = \frac{\sqrt[3]{0.9106836}}{e^{0.9106836}} + 1$

解题步骤 4.1.2

最终答案为 $\frac{\sqrt[3]{0.9106836}}{e^{0.9106836}} + 1$ 。

$\frac{\sqrt[3]{0.9106836}}{e^{0.9106836}} + 1$

解题步骤 4.2

通过将 $0.9106836$ 代入 $f (x) = \frac{\sqrt[3]{x}}{e^{x}} + 1$ 中求得的点为 $(0.9106836, \frac{\sqrt[3]{0.9106836}}{e^{0.9106836}} + 1)$ 。这个点可能是一个拐点。

$(0.9106836, \frac{\sqrt[3]{0.9106836}}{e^{0.9106836}} + 1)$

解题步骤 4.3

将 $- 0.24401693$ 代入 $f (x) = \frac{\sqrt[3]{x}}{e^{x}} + 1$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 4.3.1

使用表达式中的 $- 0.24401693$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 0.24401693) = \frac{\sqrt[3]{- 0.24401693}}{e^{- 0.24401693}} + 1$

解题步骤 4.3.2

化简结果。

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解题步骤 4.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.3.2.1.1

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ 将 $e^{- 0.24401693}$ 移动到分子。

$f (- 0.24401693) = \sqrt[3]{- 0.24401693} e^{0.24401693} + 1$

解题步骤 4.3.2.1.2

将 $- 0.24401693$ 重写为 ${(- 1)}^{3} \cdot 0.24401693$ 。

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解题步骤 4.3.2.1.2.1

重写。

$f (- 0.24401693) = \sqrt[3]{- 1 \cdot 0.24401693} e^{0.24401693} + 1$

解题步骤 4.3.2.1.2.2

将 $- 1$ 重写为 ${(- 1)}^{3}$ 。

$f (- 0.24401693) = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \cdot 0.24401693} e^{0.24401693} + 1$

解题步骤 4.3.2.1.3

从根式下提出各项。

$f (- 0.24401693) = - 1 \sqrt[3]{0.24401693} e^{0.24401693} + 1$

解题步骤 4.3.2.1.4

将 $- 1 \sqrt[3]{0.24401693}$ 重写为 $- \sqrt[3]{0.24401693}$ 。

$f (- 0.24401693) = - \sqrt[3]{0.24401693} e^{0.24401693} + 1$

解题步骤 4.3.2.2

最终答案为 $- \sqrt[3]{0.24401693} e^{0.24401693} + 1$ 。

$- \sqrt[3]{0.24401693} e^{0.24401693} + 1$

解题步骤 4.4

通过将 $- 0.24401693$ 代入 $f (x) = \frac{\sqrt[3]{x}}{e^{x}} + 1$ 中求得的点为 $(- 0.24401693, - \sqrt[3]{0.24401693} e^{0.24401693} + 1)$ 。这个点可能是一个拐点。

$(- 0.24401693, - \sqrt[3]{0.24401693} e^{0.24401693} + 1)$

解题步骤 4.5

确定可能是拐点的点。

$(0.9106836, \frac{\sqrt[3]{0.9106836}}{e^{0.9106836}} + 1), (- 0.24401693, - \sqrt[3]{0.24401693} e^{0.24401693} + 1)$

解题步骤 5

分解 $(- \infty, \infty)$ 到各点周围的区间中，这些点有可能是拐点。

$(- \infty, - 0.24401693) \cup (- 0.24401693, 0.9106836) \cup (0.9106836, \infty)$

解题步骤 6

将区间 $(- \infty, - 0.24401693)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- 0.34401693$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 0.34401693) = \frac{e^{- (- 0.34401693)} (9 {(- 0.34401693)}^{2} - 6 \cdot - 0.34401693 - 2)}{9 {(- 0.34401693)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简分子。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $- 0.34401693$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 0.34401693) = \frac{e^{- (- 0.34401693)} (9 \cdot 0.11834765 - 6 \cdot - 0.34401693 - 2)}{9 {(- 0.34401693)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 6.2.1.2

将 $9$ 乘以 $0.11834765$ 。

$f'' (- 0.34401693) = \frac{e^{- (- 0.34401693)} (1.06512886 - 6 \cdot - 0.34401693 - 2)}{9 {(- 0.34401693)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 6.2.1.3

将 $- 6$ 乘以 $- 0.34401693$ 。

$f'' (- 0.34401693) = \frac{e^{- (- 0.34401693)} (1.06512886 + 2.06410161 - 2)}{9 {(- 0.34401693)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 6.2.1.4

将 $1.06512886$ 和 $2.06410161$ 相加。

$f'' (- 0.34401693) = \frac{e^{- (- 0.34401693)} (3.12923048 - 2)}{9 {(- 0.34401693)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 6.2.1.5

从 $3.12923048$ 中减去 $2$ 。

$f'' (- 0.34401693) = \frac{e^{- (- 0.34401693)} \cdot 1.12923048}{9 {(- 0.34401693)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 6.2.1.6

将 $- 1$ 乘以 $- 0.34401693$ 。

$f'' (- 0.34401693) = \frac{e^{0.34401693} \cdot 1.12923048}{9 {(- 0.34401693)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 6.2.2

将 $e^{0.34401693}$ 乘以 $1.12923048$ 。

$f'' (- 0.34401693) = \frac{1.59289537}{9 {(- 0.34401693)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $\frac{1.59289537}{9 {(- 0.34401693)}^{\frac{5}{3}}}$ 。

$\frac{1.59289537}{9 {(- 0.34401693)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 6.3

在 $- 0.34401693$ ，二阶导数为 $- 1.04788036$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(- \infty, - 0.24401693)$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(- \infty, - 0.24401693)$ 上递减

解题步骤 7

将区间 $(- 0.24401693, 0.9106836)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $0.\overline{3}$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0.\overline{3}) = \frac{e^{- (0.\overline{3})} (9 {(0.\overline{3})}^{2} - 6 \cdot 0.\overline{3} - 2)}{9 {(0.\overline{3})}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $e^{- (0.\overline{3})}$ 移动到分母。

$f'' (0.\overline{3}) = \frac{9 {(0.\overline{3})}^{2} - 6 \cdot 0.\overline{3} - 2}{9 {(0.\overline{3})}^{\frac{5}{3}} e^{0.\overline{3}}}$

解题步骤 7.2.2

化简分子。

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解题步骤 7.2.2.1

对 $0.\overline{3}$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (0.\overline{3}) = \frac{9 \cdot 0.\overline{1} - 6 \cdot 0.\overline{3} - 2}{9 \cdot ({0.\overline{3}}^{\frac{5}{3}} e^{0.\overline{3}})}$

解题步骤 7.2.2.2

将 $9$ 乘以 $0.\overline{1}$ 。

$f'' (0.\overline{3}) = \frac{1 - 6 \cdot 0.\overline{3} - 2}{9 \cdot ({0.\overline{3}}^{\frac{5}{3}} e^{0.\overline{3}})}$

解题步骤 7.2.2.3

将 $- 6$ 乘以 $0.\overline{3}$ 。

$f'' (0.\overline{3}) = \frac{1 - 2 - 2}{9 \cdot ({0.\overline{3}}^{\frac{5}{3}} e^{0.\overline{3}})}$

解题步骤 7.2.2.4

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$f'' (0.\overline{3}) = \frac{- 1 - 2}{9 \cdot ({0.\overline{3}}^{\frac{5}{3}} e^{0.\overline{3}})}$

解题步骤 7.2.2.5

从 $- 1$ 中减去 $2$ 。

$f'' (0.\overline{3}) = \frac{- 3}{9 \cdot ({0.\overline{3}}^{\frac{5}{3}} e^{0.\overline{3}})}$

解题步骤 7.2.3

化简分母。

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解题步骤 7.2.3.1

对 $0.\overline{3}$ 进行 $\frac{5}{3}$ 次方运算。

$f'' (0.\overline{3}) = \frac{- 3}{9 \cdot (0.16024995 e^{0.\overline{3}})}$

解题步骤 7.2.3.2

合并指数。

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解题步骤 7.2.3.2.1

将 $9$ 乘以 $0.16024995$ 。

$f'' (0.\overline{3}) = \frac{- 3}{1.44224957 e^{0.\overline{3}}}$

解题步骤 7.2.3.2.2

将 $1.44224957$ 乘以 $e^{0.\overline{3}}$ 。

$f'' (0.\overline{3}) = \frac{- 3}{2.01282142}$

解题步骤 7.2.4

用 $- 3$ 除以 $2.01282142$ 。

$f'' (0.\overline{3}) = - 1.49044518$

解题步骤 7.2.5

最终答案为 $- 1.49044518$ 。

$- 1.49044518$

解题步骤 7.3

在 $0.\overline{3}$ ，二阶导数为 $- 1.49044518$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(- 0.24401693, 0.9106836)$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(- 0.24401693, 0.9106836)$ 上递减

解题步骤 8

将区间 $(0.9106836, \infty)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 8.1

使用表达式中的 $1.0106836$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (1.0106836) = \frac{e^{- (1.0106836)} (9 {(1.0106836)}^{2} - 6 \cdot 1.0106836 - 2)}{9 {(1.0106836)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 8.2

化简结果。

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解题步骤 8.2.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $e^{- (1.0106836)}$ 移动到分母。

$f'' (1.0106836) = \frac{9 {(1.0106836)}^{2} - 6 \cdot 1.0106836 - 2}{9 {(1.0106836)}^{\frac{5}{3}} e^{1.0106836}}$

解题步骤 8.2.2

化简分子。

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解题步骤 8.2.2.1

对 $1.0106836$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (1.0106836) = \frac{9 \cdot 1.02148134 - 6 \cdot 1.0106836 - 2}{9 \cdot ({1.0106836}^{\frac{5}{3}} e^{1.0106836})}$

解题步骤 8.2.2.2

将 $9$ 乘以 $1.02148134$ 。

$f'' (1.0106836) = \frac{9.19333209 - 6 \cdot 1.0106836 - 2}{9 \cdot ({1.0106836}^{\frac{5}{3}} e^{1.0106836})}$

解题步骤 8.2.2.3

将 $- 6$ 乘以 $1.0106836$ 。

$f'' (1.0106836) = \frac{9.19333209 - 6.06410161 - 2}{9 \cdot ({1.0106836}^{\frac{5}{3}} e^{1.0106836})}$

解题步骤 8.2.2.4

从 $9.19333209$ 中减去 $6.06410161$ 。

$f'' (1.0106836) = \frac{3.12923048 - 2}{9 \cdot ({1.0106836}^{\frac{5}{3}} e^{1.0106836})}$

解题步骤 8.2.2.5

从 $3.12923048$ 中减去 $2$ 。

$f'' (1.0106836) = \frac{1.12923048}{9 \cdot ({1.0106836}^{\frac{5}{3}} e^{1.0106836})}$

解题步骤 8.2.3

化简分母。

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解题步骤 8.2.3.1

对 $1.0106836$ 进行 $\frac{5}{3}$ 次方运算。

$f'' (1.0106836) = \frac{1.12923048}{9 \cdot (1.01786933 e^{1.0106836})}$

解题步骤 8.2.3.2

合并指数。

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解题步骤 8.2.3.2.1

将 $9$ 乘以 $1.01786933$ 。

$f'' (1.0106836) = \frac{1.12923048}{9.16082405 e^{1.0106836}}$

解题步骤 8.2.3.2.2

将 $9.16082405$ 乘以 $e^{1.0106836}$ 。

$f'' (1.0106836) = \frac{1.12923048}{25.16916766}$

解题步骤 8.2.4

用 $1.12923048$ 除以 $25.16916766$ 。

$f'' (1.0106836) = 0.04486562$

解题步骤 8.2.5

最终答案为 $0.04486562$ 。

$0.04486562$

解题步骤 8.3

在 $1.0106836$ 处，二阶导数为 $0.04486562$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(0.9106836, \infty)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(0.9106836, \infty)$ 上递增

解题步骤 9

曲线上的拐点是该曲线凹凸性符号由正变为负或由负变为正时的点。本例中，拐点为 $(0.9106836, \frac{\sqrt[3]{0.9106836}}{e^{0.9106836}} + 1)$ 。

$(0.9106836, \frac{\sqrt[3]{0.9106836}}{e^{0.9106836}} + 1)$

解题步骤 10

微积分学 示例

微积分学示例