微积分学示例

$y = x^{4}$

解题步骤 1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4 x^{3}$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3})$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f'' (x) = 4 (3 x^{2})$

解题步骤 2.3

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$4 x^{3} = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$f' (x) = 4 x^{3}$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $4 x^{3}$ 。

$4 x^{3}$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $4 x^{3} = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$4 x^{3} = 0$

解题步骤 5.2

将 $4 x^{3} = 0$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 5.2.1

将 $4 x^{3} = 0$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{0}{4}$

解题步骤 5.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{0}{4}$

解题步骤 5.2.2.1.2

用 $x^{3}$ 除以 $1$ 。

$x^{3} = \frac{0}{4}$

解题步骤 5.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.2.3.1

用 $0$ 除以 $4$ 。

$x^{3} = 0$

解题步骤 5.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \sqrt[3]{0}$

解题步骤 5.4

化简 $\sqrt[3]{0}$ 。

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解题步骤 5.4.1

将 $0$ 重写为 $0^{3}$ 。

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

解题步骤 5.4.2

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$x = 0$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = 0$

解题步骤 8

计算在 $x = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$12 {(0)}^{2}$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$12 \cdot 0$

解题步骤 9.2

将 $12$ 乘以 $0$ 。

$0$

解题步骤 10

因为至少有一个点是 $0$ 或使二阶导数无意义，所以使用一阶导数判别法。

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解题步骤 10.1

根据使一阶导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，将 $(- \infty, \infty)$ 分割为不同的区间。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

解题步骤 10.2

将区间 $(- \infty, 0)$ 内的任一数字（例如 $- 2$ ）代入一阶导数 $4 x^{3}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 10.2.1

使用表达式中的 $- 2$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 2) = 4 {(- 2)}^{3}$

解题步骤 10.2.2

化简结果。

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解题步骤 10.2.2.1

对 $- 2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (- 2) = 4 \cdot - 8$

解题步骤 10.2.2.2

将 $4$ 乘以 $- 8$ 。

$f' (- 2) = - 32$

解题步骤 10.2.2.3

最终答案为 $- 32$ 。

$- 32$

解题步骤 10.3

将区间 $(0, \infty)$ 内的任一数字（例如 $2$ ）代入一阶导数 $4 x^{3}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 10.3.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f' (2) = 4 {(2)}^{3}$

解题步骤 10.3.2

化简结果。

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解题步骤 10.3.2.1

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (2) = 4 \cdot 8$

解题步骤 10.3.2.2

将 $4$ 乘以 $8$ 。

$f' (2) = 32$

解题步骤 10.3.2.3

最终答案为 $32$ 。

$32$

解题步骤 10.4

由于一阶导数在 $x = 0$ 周围从负号变为正号，因此 $x = 0$ 是极小值。

$x = 0$ 是一个极小值

解题步骤 11

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