微积分学示例

$f (x) = \frac{1}{x^{- 3}} + 5 x y - \sqrt{x}$

解题步骤 1

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 2

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{1}{x^{- 3}} + 5 x y - \sqrt{x} d x$

解题步骤 3

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ 将 $x^{- 3}$ 移动到分子。

$\int x^{3} + 5 x y - \sqrt{x} d x$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int x^{3} d x + \int 5 x y d x + \int - \sqrt{x} d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$\frac{1}{4} x^{4} + C + \int 5 x y d x + \int - \sqrt{x} d x$

解题步骤 6

由于 $5 y$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $5 y$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} x^{4} + C + 5 y \int x d x + \int - \sqrt{x} d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{4} x^{4} + C + 5 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - \sqrt{x} d x$

解题步骤 8

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} x^{4} + C + 5 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \int \sqrt{x} d x$

解题步骤 9

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{4} x^{4} + C + 5 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \int x^{\frac{1}{2}} d x$

解题步骤 10

根据幂法则， $x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{1}{4} x^{4} + C + 5 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) - (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

化简。

$\frac{x^{4}}{4} + \frac{5 y x^{2}}{2} - (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}) + C$

解题步骤 11.2

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{x^{4}}{4} + \frac{5 y x^{2}}{2} - \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

解题步骤 12

重新排序项。

$\frac{1}{4} x^{4} + \frac{5}{2} y x^{2} - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 13

答案是函数 $f (x) = \frac{1}{x^{- 3}} + 5 x y - \sqrt{x}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{1}{4} x^{4} + \frac{5}{2} y x^{2} - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

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