微积分学示例

$\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$

解题步骤 1

将 $\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} d x$

解题步骤 4

使 $u = 1 + \sin (x)$ 。然后使 $d u = \cos (x) d x$ ，以便 $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 4.1

设 $u = 1 + \sin (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 4.1.1

对 $1 + \sin (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]$

解题步骤 4.1.2

求微分。

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解题步骤 4.1.2.1

根据加法法则， $1 + \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 4.1.2.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 4.1.3

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$0 + \cos (x)$

解题步骤 4.1.4

将 $0$ 和 $\cos (x)$ 相加。

$\cos (x)$

解题步骤 4.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 5

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\ln (| u |) + C$

解题步骤 6

使用 $1 + \sin (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\ln (| 1 + \sin (x) |) + C$

解题步骤 7

答案是函数 $f (x) = \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\ln (| 1 + \sin (x) |) + C$

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