微积分学示例

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 1

将 $\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\sin^{2} (x)}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\sin^{2} (x)} d x$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ 转换成 $\sec^{2} (x)$ 。

$\int \sec^{2} (x) - \frac{1}{\sin^{2} (x)} d x$

解题步骤 4.2

将 $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ 转换成 $\csc^{2} (x)$ 。

$\int \sec^{2} (x) - \csc^{2} (x) d x$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \sec^{2} (x) d x + \int - \csc^{2} (x) d x$

解题步骤 6

因为 $\tan (x)$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ ，所以 $\sec^{2} (x)$ 的积分为 $\tan (x)$ 。

$\tan (x) + C + \int - \csc^{2} (x) d x$

解题步骤 7

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\tan (x) + C - \int \csc^{2} (x) d x$

解题步骤 8

因为 $- \cot (x)$ 的导数为 $\csc^{2} (x)$ ，所以 $\csc^{2} (x)$ 的积分为 $- \cot (x)$ 。

$\tan (x) + C - (- \cot (x) + C)$

解题步骤 9

化简。

$\tan (x) + \cot (x) + C$

解题步骤 10

答案是函数 $f (x) = \frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\sin^{2} (x)}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\tan (x) + \cot (x) + C$

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