微积分学示例

$e^{- x} d x$

解题步骤 1

将 $e^{- x} d x$ 书写为一个函数。

$f (x) = e^{- x} d x$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int e^{- x} d x d x$

解题步骤 4

由于 $d$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $d$ 移到积分外。

$d \int e^{- x} x d x$

解题步骤 5

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = e^{- x}$ 。

$d (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x)$

解题步骤 6

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$d (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x)$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$d (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x)$

解题步骤 7.2

将 $\int e^{- x} d x$ 乘以 $1$ 。

$d (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x)$

解题步骤 8

使 $u = - x$ 。然后使 $d u = - d x$ ，以便 $- d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 8.1

设 $u = - x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 8.1.1

对 $- x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 8.1.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 8.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 1 \cdot 1$

解题步骤 8.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 8.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$d (x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u)$

解题步骤 9

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$d (x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u)$

解题步骤 10

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$d (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C))$

解题步骤 11

将 $d (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C))$ 重写为 $d (- x e^{- x} - e^{u}) + C$ 。

$d (- x e^{- x} - e^{u}) + C$

解题步骤 12

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$d (- x e^{- x} - e^{- x}) + C$

解题步骤 13

答案是函数 $f (x) = e^{- x} d x$ 的不定积分。

$F (x) =$ $d (- x e^{- x} - e^{- x}) + C$

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