微积分学示例

$\int \frac{3 x^{2}}{{(3 x^{3} - 2)}^{\frac{2}{3}}} d x$

解题步骤 1

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$3 \int \frac{x^{2}}{{(3 x^{3} - 2)}^{\frac{2}{3}}} d x$

解题步骤 2

使 $u = 3 x^{3} - 2$ 。然后使 $d u = 9 x^{2} d x$ ，以便 $\frac{1}{9} d u = x^{2} d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u = 3 x^{3} - 2$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $3 x^{3} - 2$ 求导。

$\frac{d}{d x} [3 x^{3} - 2]$

解题步骤 2.1.2

根据加法法则， $3 x^{3} - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 2.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ 。

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解题步骤 2.1.3.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 2.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 2.1.3.3

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 2.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.1.4.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$9 x^{2} + 0$

解题步骤 2.1.4.2

将 $9 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$9 x^{2}$

解题步骤 2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$3 \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{9} d u$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{1}{u^{\frac{2}{3}}}$ 乘以 $\frac{1}{9}$ 。

$3 \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}} \cdot 9} d u$

解题步骤 3.2

将 $9$ 移到 $u^{\frac{2}{3}}$ 的左侧。

$3 \int \frac{1}{9 u^{\frac{2}{3}}} d u$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{9}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{9}$ 移到积分外。

$3 (\frac{1}{9} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u)$

解题步骤 5

化简表达式。

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解题步骤 5.1

化简。

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解题步骤 5.1.1

组合 $\frac{1}{9}$ 和 $3$ 。

$\frac{3}{9} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

解题步骤 5.1.2

约去 $3$ 和 $9$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (1)}{9} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

解题步骤 5.1.2.2

约去公因数。

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解题步骤 5.1.2.2.1

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

解题步骤 5.1.2.2.2

约去公因数。

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

解题步骤 5.1.2.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

解题步骤 5.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 5.2.1

通过将 $u^{\frac{2}{3}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\frac{1}{3} \int {(u^{\frac{2}{3}})}^{- 1} d u$

解题步骤 5.2.2

将 ${(u^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{3} \int u^{\frac{2}{3} \cdot - 1} d u$

解题步骤 5.2.2.2

乘以 $\frac{2}{3} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 5.2.2.2.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $- 1$ 。

$\frac{1}{3} \int u^{\frac{2 \cdot - 1}{3}} d u$

解题步骤 5.2.2.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{3} \int u^{\frac{- 2}{3}} d u$

解题步骤 5.2.2.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{3} \int u^{- \frac{2}{3}} d u$

解题步骤 6

根据幂法则， $u^{- \frac{2}{3}}$ 对 $u$ 的积分是 $3 u^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{1}{3} (3 u^{\frac{1}{3}} + C)$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

将 $\frac{1}{3} (3 u^{\frac{1}{3}} + C)$ 重写为 $\frac{1}{3} \cdot 3 u^{\frac{1}{3}} + C$ 。

$\frac{1}{3} \cdot 3 u^{\frac{1}{3}} + C$

解题步骤 7.2

化简。

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解题步骤 7.2.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$\frac{3}{3} u^{\frac{1}{3}} + C$

解题步骤 7.2.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.2.1

约去公因数。

$\frac{3}{3} u^{\frac{1}{3}} + C$

解题步骤 7.2.2.2

重写表达式。

$1 u^{\frac{1}{3}} + C$

解题步骤 7.2.3

将 $u^{\frac{1}{3}}$ 乘以 $1$ 。

$u^{\frac{1}{3}} + C$

解题步骤 8

使用 $3 x^{3} - 2$ 替换所有出现的 $u$ 。

${(3 x^{3} - 2)}^{\frac{1}{3}} + C$

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