微积分学示例

$f (x) = \frac{6}{{(4 - 3 x)}^{2}}$

解题步骤 1

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 2

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{6}{{(4 - 3 x)}^{2}} d x$

解题步骤 3

由于 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $6$ 移到积分外。

$6 \int \frac{1}{{(4 - 3 x)}^{2}} d x$

解题步骤 4

使 $u = 4 - 3 x$ 。然后使 $d u = - 3 d x$ ，以便 $- \frac{1}{3} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 4.1

设 $u = 4 - 3 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 4.1.1

对 $4 - 3 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [4 - 3 x]$

解题步骤 4.1.2

求微分。

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解题步骤 4.1.2.1

根据加法法则， $4 - 3 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

解题步骤 4.1.2.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

解题步骤 4.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ 。

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解题步骤 4.1.3.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$0 - 3 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 - 3 \cdot 1$

解题步骤 4.1.3.3

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$0 - 3$

解题步骤 4.1.4

从 $0$ 中减去 $3$ 。

$- 3$

解题步骤 4.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$6 \int \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{- 3} d u$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

将负号移到分数的前面。

$6 \int \frac{1}{u^{2}} (- \frac{1}{3}) d u$

解题步骤 5.2

将 $\frac{1}{u^{2}}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$6 \int - \frac{1}{u^{2} \cdot 3} d u$

解题步骤 5.3

将 $3$ 移到 $u^{2}$ 的左侧。

$6 \int - \frac{1}{3 u^{2}} d u$

解题步骤 6

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$6 (- \int \frac{1}{3 u^{2}} d u)$

解题步骤 7

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$- 6 \int \frac{1}{3 u^{2}} d u$

解题步骤 8

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$- 6 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{2}} d u)$

解题步骤 9

化简表达式。

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解题步骤 9.1

化简。

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解题步骤 9.1.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $- 6$ 。

$\frac{- 6}{3} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

解题步骤 9.1.2

约去 $- 6$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 9.1.2.1

从 $- 6$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot - 2}{3} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

解题步骤 9.1.2.2

约去公因数。

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解题步骤 9.1.2.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot - 2}{3 (1)} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

解题步骤 9.1.2.2.2

约去公因数。

$\frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 1} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

解题步骤 9.1.2.2.3

重写表达式。

$\frac{- 2}{1} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

解题步骤 9.1.2.2.4

用 $- 2$ 除以 $1$ 。

$- 2 \int \frac{1}{u^{2}} d u$

解题步骤 9.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 9.2.1

通过将 $u^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$- 2 \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

解题步骤 9.2.2

将 ${(u^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 9.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- 2 \int u^{2 \cdot - 1} d u$

解题步骤 9.2.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 \int u^{- 2} d u$

解题步骤 10

根据幂法则， $u^{- 2}$ 对 $u$ 的积分是 $- u^{- 1}$ 。

$- 2 (- u^{- 1} + C)$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

将 $- 2 (- u^{- 1} + C)$ 重写为 $- 2 (- \frac{1}{u}) + C$ 。

$- 2 (- \frac{1}{u}) + C$

解题步骤 11.2

化简。

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解题步骤 11.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$2 \frac{1}{u} + C$

解题步骤 11.2.2

组合 $2$ 和 $\frac{1}{u}$ 。

$\frac{2}{u} + C$

解题步骤 12

使用 $4 - 3 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{2}{4 - 3 x} + C$

解题步骤 13

答案是函数 $f (x) = \frac{6}{{(4 - 3 x)}^{2}}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{2}{4 - 3 x} + C$

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