微积分学示例

$f (x) = - 5 \sin (\frac{1}{3} x) - 15$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $- 5 \sin (\frac{1}{3} x) - 15$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 5 \sin (\frac{1}{3} x)] + \frac{d}{d x} [- 15]$ 。

$\frac{d}{d x} [- 5 \sin (\frac{1}{3} x)] + \frac{d}{d x} [- 15]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 5 \sin (\frac{1}{3} x)]$ 。

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解题步骤 1.2.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [- 5 \sin (\frac{x}{3})] + \frac{d}{d x} [- 15]$

解题步骤 1.2.2

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 \sin (\frac{x}{3})$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{x}{3})]$ 。

$- 5 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{x}{3})] + \frac{d}{d x} [- 15]$

解题步骤 1.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = \frac{x}{3}$ 。

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解题步骤 1.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{x}{3}$ 。

$- 5 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]) + \frac{d}{d x} [- 15]$

解题步骤 1.2.3.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$- 5 (\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]) + \frac{d}{d x} [- 15]$

解题步骤 1.2.3.3

使用 $\frac{x}{3}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- 5 (\cos (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]) + \frac{d}{d x} [- 15]$

解题步骤 1.2.4

因为 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x}{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 5 (\cos (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 15]$

解题步骤 1.2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 5 (\cos (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 15]$

解题步骤 1.2.6

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $1$ 。

$- 5 (\cos (\frac{x}{3}) \frac{1}{3}) + \frac{d}{d x} [- 15]$

解题步骤 1.2.7

组合 $\cos (\frac{x}{3})$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$- 5 \frac{\cos (\frac{x}{3})}{3} + \frac{d}{d x} [- 15]$

解题步骤 1.2.8

组合 $- 5$ 和 $\frac{\cos (\frac{x}{3})}{3}$ 。

$\frac{- 5 \cos (\frac{x}{3})}{3} + \frac{d}{d x} [- 15]$

解题步骤 1.2.9

将负号移到分数的前面。

$- \frac{5 \cos (\frac{x}{3})}{3} + \frac{d}{d x} [- 15]$

解题步骤 1.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.3.1

因为 $- 15$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 15$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- \frac{5 \cos (\frac{x}{3})}{3} + 0$

解题步骤 1.3.2

将 $- \frac{5 \cos (\frac{x}{3})}{3}$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{5 \cos (\frac{x}{3})}{3}$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $- \frac{5}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{5 \cos (\frac{x}{3})}{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{5}{3} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{3})]$ 。

$f'' (x) = - \frac{5}{3} \cdot \frac{d}{d x} \cos (\frac{x}{3})$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = \frac{x}{3}$ 。

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解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{x}{3}$ 。

$f'' (x) = - \frac{5}{3} \cdot (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (\frac{x}{3}))$

解题步骤 2.2.2

$\cos (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \sin (u)$ 。

$f'' (x) = - \frac{5}{3} \cdot (- \sin (u) \frac{d}{d x} \frac{x}{3})$

解题步骤 2.2.3

使用 $\frac{x}{3}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = - \frac{5}{3} \cdot (- \sin (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} \frac{x}{3})$

解题步骤 2.3

求微分。

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解题步骤 2.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = 1 (\frac{5}{3}) \cdot (\sin (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{3}))$

解题步骤 2.3.2

合并分数。

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解题步骤 2.3.2.1

将 $\frac{5}{3}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{5}{3} \cdot (\sin (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{3}))$

解题步骤 2.3.2.2

组合 $\sin (\frac{x}{3})$ 和 $\frac{5}{3}$ 。

$f'' (x) = \frac{\sin (\frac{x}{3}) \cdot 5}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{3})$

解题步骤 2.3.2.3

将 $5$ 移到 $\sin (\frac{x}{3})$ 的左侧。

$f'' (x) = \frac{5 \cdot \sin (\frac{x}{3})}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{3})$

解题步骤 2.3.3

因为 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x}{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = \frac{5 \sin (\frac{x}{3})}{3} \cdot (\frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 2.3.4

合并分数。

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解题步骤 2.3.4.1

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{5 \sin (\frac{x}{3})}{3}$ 。

$f'' (x) = \frac{5 \sin (\frac{x}{3})}{3 \cdot 3} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 2.3.4.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$f'' (x) = \frac{5 \sin (\frac{x}{3})}{9} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 2.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = \frac{5 \sin (\frac{x}{3})}{9} \cdot 1$

解题步骤 2.3.6

将 $\frac{5 \sin (\frac{x}{3})}{9}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{5 \sin (\frac{x}{3})}{9}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$- \frac{5 \cos (\frac{x}{3})}{3} = 0$

解题步骤 4

将分子设为等于零。

$5 \cos (\frac{x}{3}) = 0$

解题步骤 5

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 5.1

将 $5 \cos (\frac{x}{3}) = 0$ 中的每一项除以 $5$ 并化简。

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解题步骤 5.1.1

将 $5 \cos (\frac{x}{3}) = 0$ 中的每一项都除以 $5$ 。

$\frac{5 \cos (\frac{x}{3})}{5} = \frac{0}{5}$

解题步骤 5.1.2

化简左边。

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解题步骤 5.1.2.1

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{5 \cos (\frac{x}{3})}{5} = \frac{0}{5}$

解题步骤 5.1.2.1.2

用 $\cos (\frac{x}{3})$ 除以 $1$ 。

$\cos (\frac{x}{3}) = \frac{0}{5}$

解题步骤 5.1.3

化简右边。

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解题步骤 5.1.3.1

用 $0$ 除以 $5$ 。

$\cos (\frac{x}{3}) = 0$

解题步骤 5.2

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$\frac{x}{3} = \arccos (0)$

解题步骤 5.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.1

$\arccos (0)$ 的准确值为 $\frac{π}{2}$ 。

$\frac{x}{3} = \frac{π}{2}$

解题步骤 5.4

等式两边同时乘以 $3$ 。

$3 \frac{x}{3} = 3 \frac{π}{2}$

解题步骤 5.5

化简方程的两边。

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解题步骤 5.5.1

化简左边。

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解题步骤 5.5.1.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.1.1.1

约去公因数。

$3 \frac{x}{3} = 3 \frac{π}{2}$

解题步骤 5.5.1.1.2

重写表达式。

$x = 3 \frac{π}{2}$

解题步骤 5.5.2

化简右边。

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解题步骤 5.5.2.1

组合 $3$ 和 $\frac{π}{2}$ 。

$x = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 5.6

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$\frac{x}{3} = 2 π - \frac{π}{2}$

解题步骤 5.7

求解 $x$ 。

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解题步骤 5.7.1

等式两边同时乘以 $3$ 。

$3 \frac{x}{3} = 3 (2 π - \frac{π}{2})$

解题步骤 5.7.2

化简方程的两边。

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解题步骤 5.7.2.1

化简左边。

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解题步骤 5.7.2.1.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.7.2.1.1.1

约去公因数。

$3 \frac{x}{3} = 3 (2 π - \frac{π}{2})$

解题步骤 5.7.2.1.1.2

重写表达式。

$x = 3 (2 π - \frac{π}{2})$

解题步骤 5.7.2.2

化简右边。

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解题步骤 5.7.2.2.1

化简 $3 (2 π - \frac{π}{2})$ 。

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解题步骤 5.7.2.2.1.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x = 3 (2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

解题步骤 5.7.2.2.1.2

合并分数。

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解题步骤 5.7.2.2.1.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x = 3 (\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

解题步骤 5.7.2.2.1.2.2

在公分母上合并分子。

$x = 3 \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 5.7.2.2.1.3

化简分子。

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解题步骤 5.7.2.2.1.3.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = 3 \frac{4 π - π}{2}$

解题步骤 5.7.2.2.1.3.2

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$x = 3 \frac{3 π}{2}$

解题步骤 5.7.2.2.1.4

乘以 $3 \frac{3 π}{2}$ 。

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解题步骤 5.7.2.2.1.4.1

组合 $3$ 和 $\frac{3 π}{2}$ 。

$x = \frac{3 (3 π)}{2}$

解题步骤 5.7.2.2.1.4.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{9 π}{2}$

解题步骤 5.8

方程 $\frac{x}{3} = \frac{π}{2}$ 的解。

$x = \frac{3 π}{2}, \frac{9 π}{2}$

解题步骤 6

计算在 $x = \frac{3 π}{2}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$\frac{5 \sin (\frac{\frac{3 π}{2}}{3})}{9}$

解题步骤 7

计算二阶导数。

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解题步骤 7.1

化简分子。

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解题步骤 7.1.1

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{5 \sin (\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3})}{9}$

解题步骤 7.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.2.1

从 $3 π$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{5 \sin (\frac{3 (π)}{2} \cdot \frac{1}{3})}{9}$

解题步骤 7.1.2.2

约去公因数。

$\frac{5 \sin (\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3})}{9}$

解题步骤 7.1.2.3

重写表达式。

$\frac{5 \sin (\frac{π}{2})}{9}$

解题步骤 7.1.3

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{5 \cdot 1}{9}$

解题步骤 7.2

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$\frac{5}{9}$

解题步骤 8

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = \frac{3 π}{2}$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{3 π}{2}$ 是一个极小值

解题步骤 9

求 $x = \frac{3 π}{2}$ 时的 y 值。

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解题步骤 9.1

使用表达式中的 $\frac{3 π}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{3 π}{2}) = - 5 \sin (\frac{1}{3} \cdot (\frac{3 π}{2})) - 15$

解题步骤 9.2

化简结果。

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解题步骤 9.2.1

化简每一项。

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解题步骤 9.2.1.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.1.1.1

从 $3 π$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (\frac{3 π}{2}) = - 5 \sin (\frac{1}{3} \cdot \frac{3 (π)}{2}) - 15$

解题步骤 9.2.1.1.2

约去公因数。

$f (\frac{3 π}{2}) = - 5 \sin (\frac{1}{3} \cdot \frac{3 π}{2}) - 15$

解题步骤 9.2.1.1.3

重写表达式。

$f (\frac{3 π}{2}) = - 5 \sin (\frac{π}{2}) - 15$

解题步骤 9.2.1.2

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$f (\frac{3 π}{2}) = - 5 \cdot 1 - 15$

解题步骤 9.2.1.3

将 $- 5$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{3 π}{2}) = - 5 - 15$

解题步骤 9.2.2

从 $- 5$ 中减去 $15$ 。

$f (\frac{3 π}{2}) = - 20$

解题步骤 9.2.3

最终答案为 $- 20$ 。

$y = - 20$

解题步骤 10

计算在 $x = \frac{9 π}{2}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$\frac{5 \sin (\frac{\frac{9 π}{2}}{3})}{9}$

解题步骤 11

计算二阶导数。

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解题步骤 11.1

化简分子。

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解题步骤 11.1.1

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{5 \sin (\frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{3})}{9}$

解题步骤 11.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 11.1.2.1

从 $9 π$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{5 \sin (\frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3})}{9}$

解题步骤 11.1.2.2

约去公因数。

$\frac{5 \sin (\frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3})}{9}$

解题步骤 11.1.2.3

重写表达式。

$\frac{5 \sin (\frac{3 π}{2})}{9}$

解题步骤 11.1.3

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$\frac{5 (- \sin (\frac{π}{2}))}{9}$

解题步骤 11.1.4

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{5 (- 1 \cdot 1)}{9}$

解题步骤 11.1.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{5 \cdot - 1}{9}$

解题步骤 11.2

化简表达式。

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解题步骤 11.2.1

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 5}{9}$

解题步骤 11.2.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{5}{9}$

解题步骤 12

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = \frac{9 π}{2}$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{9 π}{2}$ 是一个极大值

解题步骤 13

求 $x = \frac{9 π}{2}$ 时的 y 值。

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解题步骤 13.1

使用表达式中的 $\frac{9 π}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{9 π}{2}) = - 5 \sin (\frac{1}{3} \cdot (\frac{9 π}{2})) - 15$

解题步骤 13.2

化简结果。

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解题步骤 13.2.1

化简每一项。

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解题步骤 13.2.1.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 13.2.1.1.1

从 $9 π$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (\frac{9 π}{2}) = - 5 \sin (\frac{1}{3} \cdot \frac{3 (3 π)}{2}) - 15$

解题步骤 13.2.1.1.2

约去公因数。

$f (\frac{9 π}{2}) = - 5 \sin (\frac{1}{3} \cdot \frac{3 (3 π)}{2}) - 15$

解题步骤 13.2.1.1.3

重写表达式。

$f (\frac{9 π}{2}) = - 5 \sin (\frac{3 π}{2}) - 15$

解题步骤 13.2.1.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$f (\frac{9 π}{2}) = - 5 (- \sin (\frac{π}{2})) - 15$

解题步骤 13.2.1.3

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$f (\frac{9 π}{2}) = - 5 (- 1 \cdot 1) - 15$

解题步骤 13.2.1.4

乘以 $- 5 (- 1 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 13.2.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{9 π}{2}) = - 5 \cdot - 1 - 15$

解题步骤 13.2.1.4.2

将 $- 5$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\frac{9 π}{2}) = 5 - 15$

解题步骤 13.2.2

从 $5$ 中减去 $15$ 。

$f (\frac{9 π}{2}) = - 10$

解题步骤 13.2.3

最终答案为 $- 10$ 。

$y = - 10$

解题步骤 14

这些是 $f (x) = - 5 \sin (\frac{1}{3} x) - 15$ 的局部极值。

$(\frac{3 π}{2}, - 20)$ 是一个局部最小值

$(\frac{9 π}{2}, - 10)$ 是一个局部最大值

解题步骤 15

微积分学 示例

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