微积分学示例

$\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 t + 2}{\sqrt{t + 1}} d t$

解题步骤 1

使 $u = t + 1$ 。然后使 $d u = d t$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = t + 1$ 。求 $\frac{d u}{d t}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $t + 1$ 求导。

$\frac{d}{d t} [t + 1]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $t + 1$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ 。

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d t} [1]$

解题步骤 1.1.4

因为 $1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $1$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 1.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = t + 1$ 中的 $t$ 。

$u_{lower} = 1 + 1$

解题步骤 1.3

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$u_{lower} = 2$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = t + 1$ 中的 $t$ 。

$u_{upper} = x^{2} + 1 + 1$

解题步骤 1.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$u_{upper} = x^{2} + 2$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = x^{2} + 2$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{2}^{x^{2} + 2} \frac{2 (u - 1) + 2}{\sqrt{u}} d u$

解题步骤 2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int_{2}^{x^{2} + 2} \frac{2 (u - 1) + 2}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

解题步骤 2.2

通过将 $u^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int_{2}^{x^{2} + 2} (2 (u - 1) + 2) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

解题步骤 2.3

将 ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int_{2}^{x^{2} + 2} (2 (u - 1) + 2) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

解题步骤 2.3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\int_{2}^{x^{2} + 2} (2 (u - 1) + 2) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

解题步骤 2.3.3

将负号移到分数的前面。

$\int_{2}^{x^{2} + 2} (2 (u - 1) + 2) u^{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 3

展开 $(2 (u - 1) + 2) u^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$\int_{2}^{x^{2} + 2} (2 u + 2 \cdot - 1 + 2) u^{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$\int_{2}^{x^{2} + 2} (2 u + 2 \cdot - 1) u^{- \frac{1}{2}} + 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 3.3

运用分配律。

$\int_{2}^{x^{2} + 2} 2 u \cdot u^{- \frac{1}{2}} + 2 \cdot - 1 u^{- \frac{1}{2}} + 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 3.4

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int_{2}^{x^{2} + 2} 2 (u^{1} u^{- \frac{1}{2}}) + 2 \cdot - 1 u^{- \frac{1}{2}} + 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 3.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int_{2}^{x^{2} + 2} 2 u^{1 - \frac{1}{2}} + 2 \cdot - 1 u^{- \frac{1}{2}} + 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 3.6

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\int_{2}^{x^{2} + 2} 2 u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 2 \cdot - 1 u^{- \frac{1}{2}} + 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 3.7

在公分母上合并分子。

$\int_{2}^{x^{2} + 2} 2 u^{\frac{2 - 1}{2}} + 2 \cdot - 1 u^{- \frac{1}{2}} + 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 3.8

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$\int_{2}^{x^{2} + 2} 2 u^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot - 1 u^{- \frac{1}{2}} + 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 3.9

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\int_{2}^{x^{2} + 2} 2 u^{\frac{1}{2}} - 2 u^{- \frac{1}{2}} + 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 3.10

将 $- 2 u^{- \frac{1}{2}}$ 和 $2 u^{- \frac{1}{2}}$ 相加。

$\int_{2}^{x^{2} + 2} 2 u^{\frac{1}{2}} + 0 d u$

解题步骤 3.11

将 $2 u^{\frac{1}{2}}$ 和 $0$ 相加。

$\int_{2}^{x^{2} + 2} 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

解题步骤 4

由于 $2$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int_{2}^{x^{2} + 2} u^{\frac{1}{2}} d u$

解题步骤 5

根据幂法则， $u^{\frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 。

$2 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{2}^{x^{2} + 2})$

解题步骤 6

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $u^{\frac{3}{2}}$ 。

$2 (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}]_{2}^{x^{2} + 2})$

解题步骤 7

代入并化简。

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解题步骤 7.1

计算 $\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$ 在 $x^{2} + 2$ 处和在 $2$ 处的值。

$2 ((\frac{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3})$

解题步骤 7.2

化简。

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解题步骤 7.2.1

通过指数相加将 $2$ 乘以 $2^{\frac{3}{2}}$ 。

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解题步骤 7.2.1.1

将 $2$ 乘以 $2^{\frac{3}{2}}$ 。

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解题步骤 7.2.1.1.1

对 $2$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 (\frac{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2^{1} \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3})$

解题步骤 7.2.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 (\frac{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2^{1 + \frac{3}{2}}}{3})$

解题步骤 7.2.1.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$2 (\frac{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}{3})$

解题步骤 7.2.1.3

在公分母上合并分子。

$2 (\frac{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2^{\frac{2 + 3}{2}}}{3})$

解题步骤 7.2.1.4

将 $2$ 和 $3$ 相加。

$2 (\frac{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3})$

解题步骤 7.2.2

在公分母上合并分子。

$2 \frac{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - 2^{\frac{5}{2}}}{3}$

解题步骤 7.2.3

组合 $2$ 和 $\frac{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - 2^{\frac{5}{2}}}{3}$ 。

$\frac{2 (2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - 2^{\frac{5}{2}})}{3}$

解题步骤 8

重新排序项。

$\frac{2}{3} (2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - 2^{\frac{5}{2}})$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

运用分配律。

$\frac{2}{3} (2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}) + \frac{2}{3} (- 2^{\frac{5}{2}})$

解题步骤 9.2

乘以 $\frac{2}{3} (2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}})$ 。

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解题步骤 9.2.1

组合 $2$ 和 $\frac{2}{3}$ 。

$\frac{2 \cdot 2}{3} {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} (- 2^{\frac{5}{2}})$

解题步骤 9.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4}{3} {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} (- 2^{\frac{5}{2}})$

解题步骤 9.2.3

组合 $\frac{4}{3}$ 和 ${(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{4 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (- 2^{\frac{5}{2}})$

解题步骤 9.3

乘以 $\frac{2}{3} (- 2^{\frac{5}{2}})$ 。

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解题步骤 9.3.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $2^{\frac{5}{2}}$ 。

$\frac{4 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{3}$

解题步骤 9.3.2

通过指数相加将 $2$ 乘以 $2^{\frac{5}{2}}$ 。

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解题步骤 9.3.2.1

将 $2$ 乘以 $2^{\frac{5}{2}}$ 。

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解题步骤 9.3.2.1.1

对 $2$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{4 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2^{1} \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{3}$

解题步骤 9.3.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{4 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2^{1 + \frac{5}{2}}}{3}$

解题步骤 9.3.2.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{4 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{5}{2}}}{3}$

解题步骤 9.3.2.3

在公分母上合并分子。

$\frac{4 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2^{\frac{2 + 5}{2}}}{3}$

解题步骤 9.3.2.4

将 $2$ 和 $5$ 相加。

$\frac{4 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2^{\frac{7}{2}}}{3}$

解题步骤 9.4

在公分母上合并分子。

$\frac{4 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - 2^{\frac{7}{2}}}{3}$

微积分学 示例

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