微积分学示例

$f (x) = \frac{1}{\sin^{2} (4 x - \frac{π}{3})}$

解题步骤 1

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 2

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{1}{\sin^{2} (4 x - \frac{π}{3})} d x$

解题步骤 3

将 $\frac{1}{\sin^{2} (4 x - \frac{π}{3})}$ 转换成 $\csc^{2} (4 x - \frac{π}{3})$ 。

$\int \csc^{2} (4 x - \frac{π}{3}) d x$

解题步骤 4

使 $u = 4 x - \frac{π}{3}$ 。然后使 $d u = 4 d x$ ，以便 $\frac{1}{4} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 4.1

设 $u = 4 x - \frac{π}{3}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 4.1.1

对 $4 x - \frac{π}{3}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [4 x - \frac{π}{3}]$

解题步骤 4.1.2

根据加法法则， $4 x - \frac{π}{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{3}]$ 。

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{3}]$

解题步骤 4.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [4 x]$ 。

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解题步骤 4.1.3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{3}]$

解题步骤 4.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{3}]$

解题步骤 4.1.3.3

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$4 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{3}]$

解题步骤 4.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 4.1.4.1

因为 $- \frac{π}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{π}{3}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 + 0$

解题步骤 4.1.4.2

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$4$

解题步骤 4.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \csc^{2} (u) \frac{1}{4} d u$

解题步骤 5

组合 $\csc^{2} (u)$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$\int \frac{\csc^{2} (u)}{4} d u$

解题步骤 6

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} \int \csc^{2} (u) d u$

解题步骤 7

因为 $- \cot (u)$ 的导数为 $\csc^{2} (u)$ ，所以 $\csc^{2} (u)$ 的积分为 $- \cot (u)$ 。

$\frac{1}{4} (- \cot (u) + C)$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

化简。

$\frac{1}{4} (- \cot (u)) + C$

解题步骤 8.2

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $\cot (u)$ 。

$- \frac{\cot (u)}{4} + C$

解题步骤 9

使用 $4 x - \frac{π}{3}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{\cot (4 x - \frac{π}{3})}{4} + C$

解题步骤 10

重新排序项。

$- \frac{1}{4} \cot (4 x - \frac{π}{3}) + C$

解题步骤 11

答案是函数 $f (x) = \frac{1}{\sin^{2} (4 x - \frac{π}{3})}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $- \frac{1}{4} \cot (4 x - \frac{π}{3}) + C$

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