微积分学示例

$\int_{- 8}^{4} \frac{14}{{(9 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}} d x$

解题步骤 1

由于 $14$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $14$ 移到积分外。

$14 \int_{- 8}^{4} \frac{1}{{(9 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}} d x$

解题步骤 2

使 $u = 9 - 2 x$ 。然后使 $d u = - 2 d x$ ，以便 $- \frac{1}{2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u = 9 - 2 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $9 - 2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [9 - 2 x]$

解题步骤 2.1.2

求微分。

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解题步骤 2.1.2.1

根据加法法则， $9 - 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 2.1.2.2

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 2.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ 。

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解题步骤 2.1.3.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 - 2 \cdot 1$

解题步骤 2.1.3.3

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$0 - 2$

解题步骤 2.1.4

从 $0$ 中减去 $2$ 。

$- 2$

解题步骤 2.2

将下限代入替换 $u = 9 - 2 x$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 9 - 2 \cdot - 8$

解题步骤 2.3

化简。

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解题步骤 2.3.1

将 $- 2$ 乘以 $- 8$ 。

$u_{lower} = 9 + 16$

解题步骤 2.3.2

将 $9$ 和 $16$ 相加。

$u_{lower} = 25$

解题步骤 2.4

将上限代入替换 $u = 9 - 2 x$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 9 - 2 \cdot 4$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

将 $- 2$ 乘以 $4$ 。

$u_{upper} = 9 - 8$

解题步骤 2.5.2

从 $9$ 中减去 $8$ 。

$u_{upper} = 1$

解题步骤 2.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 25$

$u_{upper} = 1$

解题步骤 2.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$14 \int_{25}^{1} \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

将负号移到分数的前面。

$14 \int_{25}^{1} \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} (- \frac{1}{2}) d u$

解题步骤 3.2

将 $\frac{1}{u^{\frac{3}{2}}}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$14 \int_{25}^{1} - \frac{1}{u^{\frac{3}{2}} \cdot 2} d u$

解题步骤 3.3

将 $2$ 移到 $u^{\frac{3}{2}}$ 的左侧。

$14 \int_{25}^{1} - \frac{1}{2 u^{\frac{3}{2}}} d u$

解题步骤 4

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$14 (- \int_{25}^{1} \frac{1}{2 u^{\frac{3}{2}}} d u)$

解题步骤 5

将 $- 1$ 乘以 $14$ 。

$- 14 \int_{25}^{1} \frac{1}{2 u^{\frac{3}{2}}} d u$

解题步骤 6

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$- 14 (\frac{1}{2} \int_{25}^{1} \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u)$

解题步骤 7

化简表达式。

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解题步骤 7.1

化简。

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解题步骤 7.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 14$ 。

$\frac{- 14}{2} \int_{25}^{1} \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

解题步骤 7.1.2

约去 $- 14$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.2.1

从 $- 14$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot - 7}{2} \int_{25}^{1} \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

解题步骤 7.1.2.2

约去公因数。

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解题步骤 7.1.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot - 7}{2 (1)} \int_{25}^{1} \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

解题步骤 7.1.2.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot - 7}{2 \cdot 1} \int_{25}^{1} \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

解题步骤 7.1.2.2.3

重写表达式。

$\frac{- 7}{1} \int_{25}^{1} \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

解题步骤 7.1.2.2.4

用 $- 7$ 除以 $1$ 。

$- 7 \int_{25}^{1} \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

解题步骤 7.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 7.2.1

通过将 $u^{\frac{3}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$- 7 \int_{25}^{1} {(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d u$

解题步骤 7.2.2

将 ${(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 7.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- 7 \int_{25}^{1} u^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d u$

解题步骤 7.2.2.2

乘以 $\frac{3}{2} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 7.2.2.2.1

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $- 1$ 。

$- 7 \int_{25}^{1} u^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d u$

解题步骤 7.2.2.2.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$- 7 \int_{25}^{1} u^{\frac{- 3}{2}} d u$

解题步骤 7.2.2.3

将负号移到分数的前面。

$- 7 \int_{25}^{1} u^{- \frac{3}{2}} d u$

解题步骤 8

根据幂法则， $u^{- \frac{3}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $- 2 u^{- \frac{1}{2}}$ 。

$- 7 (- 2 u^{- \frac{1}{2}}]_{25}^{1})$

解题步骤 9

代入并化简。

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解题步骤 9.1

计算 $- 2 u^{- \frac{1}{2}}$ 在 $1$ 处和在 $25$ 处的值。

$- 7 ((- 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}) + 2 \cdot 25^{- \frac{1}{2}})$

解题步骤 9.2

化简。

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解题步骤 9.2.1

一的任意次幂都为一。

$- 7 (- 2 \cdot 1 + 2 \cdot 25^{- \frac{1}{2}})$

解题步骤 9.2.2

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$- 7 (- 2 + 2 \cdot 25^{- \frac{1}{2}})$

解题步骤 9.2.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 7 (- 2 + 2 \cdot \frac{1}{25^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 9.2.4

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$- 7 (- 2 + 2 \cdot \frac{1}{{(5^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 9.2.5

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- 7 (- 2 + 2 \cdot \frac{1}{5^{2 (\frac{1}{2})}})$

解题步骤 9.2.6

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.6.1

约去公因数。

$- 7 (- 2 + 2 \cdot \frac{1}{5^{2 (\frac{1}{2})}})$

解题步骤 9.2.6.2

重写表达式。

$- 7 (- 2 + 2 \cdot \frac{1}{5^{1}})$

解题步骤 9.2.7

计算指数。

$- 7 (- 2 + 2 \cdot \frac{1}{5})$

解题步骤 9.2.8

组合 $2$ 和 $\frac{1}{5}$ 。

$- 7 (- 2 + \frac{2}{5})$

解题步骤 9.2.9

要将 $- 2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$- 7 (- 2 \cdot \frac{5}{5} + \frac{2}{5})$

解题步骤 9.2.10

组合 $- 2$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$- 7 (\frac{- 2 \cdot 5}{5} + \frac{2}{5})$

解题步骤 9.2.11

在公分母上合并分子。

$- 7 \frac{- 2 \cdot 5 + 2}{5}$

解题步骤 9.2.12

化简分子。

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解题步骤 9.2.12.1

将 $- 2$ 乘以 $5$ 。

$- 7 \frac{- 10 + 2}{5}$

解题步骤 9.2.12.2

将 $- 10$ 和 $2$ 相加。

$- 7 (\frac{- 8}{5})$

解题步骤 9.2.13

将负号移到分数的前面。

$- 7 (- \frac{8}{5})$

解题步骤 9.2.14

将 $- 1$ 乘以 $- 7$ 。

$7 (\frac{8}{5})$

解题步骤 9.2.15

组合 $7$ 和 $\frac{8}{5}$ 。

$\frac{7 \cdot 8}{5}$

解题步骤 9.2.16

将 $7$ 乘以 $8$ 。

$\frac{56}{5}$

解题步骤 10

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{56}{5}$

小数形式：

$11.2$

带分数形式：

$11 \frac{1}{5}$

解题步骤 11

微积分学 示例

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