微积分学示例

$6 x - 9 + 3 x^{5}$

解题步骤 1

将 $6 x - 9 + 3 x^{5}$ 书写为一个函数。

$f (x) = 6 x - 9 + 3 x^{5}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int 6 x - 9 + 3 x^{5} d x$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 6 x d x + \int - 9 d x + \int 3 x^{5} d x$

解题步骤 5

由于 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $6$ 移到积分外。

$6 \int x d x + \int - 9 d x + \int 3 x^{5} d x$

解题步骤 6

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$6 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 9 d x + \int 3 x^{5} d x$

解题步骤 7

应用常数不变法则。

$6 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 9 x + C + \int 3 x^{5} d x$

解题步骤 8

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$6 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 9 x + C + \int 3 x^{5} d x$

解题步骤 9

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$6 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 9 x + C + 3 \int x^{5} d x$

解题步骤 10

根据幂法则， $x^{5}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{6} x^{6}$ 。

$6 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 9 x + C + 3 (\frac{1}{6} x^{6} + C)$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

组合 $\frac{1}{6}$ 和 $x^{6}$ 。

$6 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 9 x + C + 3 (\frac{x^{6}}{6} + C)$

解题步骤 11.2

化简。

$3 x^{2} - 9 x + 3 \frac{x^{6}}{6} + C$

解题步骤 11.3

化简。

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解题步骤 11.3.1

组合 $3$ 和 $\frac{x^{6}}{6}$ 。

$3 x^{2} - 9 x + \frac{3 x^{6}}{6} + C$

解题步骤 11.3.2

约去 $3$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 11.3.2.1

从 $3 x^{6}$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 x^{2} - 9 x + \frac{3 (x^{6})}{6} + C$

解题步骤 11.3.2.2

约去公因数。

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解题步骤 11.3.2.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 x^{2} - 9 x + \frac{3 x^{6}}{3 \cdot 2} + C$

解题步骤 11.3.2.2.2

约去公因数。

$3 x^{2} - 9 x + \frac{3 x^{6}}{3 \cdot 2} + C$

解题步骤 11.3.2.2.3

重写表达式。

$3 x^{2} - 9 x + \frac{x^{6}}{2} + C$

解题步骤 11.4

重新排序项。

$3 x^{2} - 9 x + \frac{1}{2} x^{6} + C$

解题步骤 12

答案是函数 $f (x) = 6 x - 9 + 3 x^{5}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $3 x^{2} - 9 x + \frac{1}{2} x^{6} + C$

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