微积分学示例

$y \cdot 2^{y} = x$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y \cdot 2^{y}) = \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = y$ 且 $g (x) = 2^{y}$ 。

$y \frac{d}{d x} [2^{y}] + 2^{y} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = 2^{x}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$y (\frac{d}{d u} [2^{u}] \frac{d}{d x} [y]) + 2^{y} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $2$ 。

$y (2^{u} \ln (2) \frac{d}{d x} [y]) + 2^{y} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.2.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$y (2^{y} \ln (2) \frac{d}{d x} [y]) + 2^{y} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$y (2^{y} \ln (2) y') + 2^{y} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.4

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$y (2^{y} \ln (2) y') + 2^{y} y'$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

重新排序项。

$2^{y} y \ln (2) y' + 2^{y} y'$

解题步骤 2.5.2

将 $2^{y} y \ln (2) y' + 2^{y} y'$ 中的因式重新排序。

$y \cdot 2^{y} \ln (2) y' + 2^{y} y'$

解题步骤 3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y \cdot (2^{y} \ln (2) y') + 2^{y} y' = 1$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

化简 $y \cdot (2^{y} \ln (2) y') + 2^{y} y'$ 。

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解题步骤 5.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\ln (2) y (2^{y} y') + 2^{y} y' = 1$

解题步骤 5.1.2

将 $\ln (2) y (2^{y} y') + 2^{y} y'$ 中的因式重新排序。

$y y' \cdot 2^{y} \ln (2) + y' \cdot 2^{y} = 1$

解题步骤 5.2

从 $y y' \cdot (2^{y} \ln (2)) + y' \cdot 2^{y}$ 中分解出因数 $y' \cdot 2^{y}$ 。

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解题步骤 5.2.1

从 $y y' \cdot (2^{y} \ln (2))$ 中分解出因数 $y' \cdot 2^{y}$ 。

$y' \cdot (2^{y} (y \cdot \ln (2))) + y' \cdot 2^{y} = 1$

解题步骤 5.2.2

从 $y' \cdot 2^{y}$ 中分解出因数 $y' \cdot 2^{y}$ 。

$y' \cdot (2^{y} (y \cdot \ln (2))) + y' \cdot (2^{y} (1)) = 1$

解题步骤 5.2.3

从 $y' \cdot 2^{y} (y \cdot \ln (2)) + y' \cdot 2^{y} \cdot 1$ 中分解出因数 $y' \cdot 2^{y}$ 。

$y' \cdot (2^{y} (y \cdot \ln (2) + 1)) = 1$

解题步骤 5.3

将 $y$ 乘以 $\ln (2)$ 。

$y' \cdot (2^{y} (y (\ln (2)) + 1)) = 1$

解题步骤 5.4

将 $y$ 乘以 $\ln (2)$ 。

$y' \cdot (2^{y} (y \ln (2) + 1)) = 1$

解题步骤 5.5

将 $y' \cdot (2^{y} (y \ln (2) + 1)) = 1$ 中的每一项除以 $2^{y} (y \ln (2) + 1)$ 并化简。

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解题步骤 5.5.1

将 $y' \cdot (2^{y} (y \ln (2) + 1)) = 1$ 中的每一项都除以 $2^{y} (y \ln (2) + 1)$ 。

$\frac{y' \cdot (2^{y} (y \ln (2) + 1))}{2^{y} (y \ln (2) + 1)} = \frac{1}{2^{y} (y \ln (2) + 1)}$

解题步骤 5.5.2

化简左边。

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解题步骤 5.5.2.1

约去 $2^{y}$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y' \cdot (2^{y} (y \ln (2) + 1))}{2^{y} (y \ln (2) + 1)} = \frac{1}{2^{y} (y \ln (2) + 1)}$

解题步骤 5.5.2.1.2

重写表达式。

$\frac{y' \cdot (y \ln (2) + 1)}{y \ln (2) + 1} = \frac{1}{2^{y} (y \ln (2) + 1)}$

解题步骤 5.5.2.2

约去 $y \ln (2) + 1$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.2.2.1

约去公因数。

$\frac{y' \cdot (y \ln (2) + 1)}{y \ln (2) + 1} = \frac{1}{2^{y} (y \ln (2) + 1)}$

解题步骤 5.5.2.2.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{1}{2^{y} (y \ln (2) + 1)}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2^{y} (y \ln (2) + 1)}$

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