微积分学示例

$y = x + 4 \sqrt{x + 2}$

解题步骤 1

求微分。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $x + 4 \sqrt{x + 2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x + 2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x + 2}]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x + 2}]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x + 2}]$ 。

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解题步骤 2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x + 2}$ 重写成 ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [4 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{\frac{1}{2}}]$ 。

$1 + 4 \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x + 2$ 。

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解题步骤 2.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + 2$ 。

$1 + 4 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 2])$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$1 + 4 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 2])$

解题步骤 2.3.3

使用 $x + 2$ 替换所有出现的 $u$ 。

$1 + 4 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 2])$

解题步骤 2.4

根据加法法则， $x + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$1 + 4 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]))$

解题步骤 2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + 4 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [2]))$

解题步骤 2.6

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 4 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0))$

解题步骤 2.7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$1 + 4 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0))$

解题步骤 2.8

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$1 + 4 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0))$

解题步骤 2.9

在公分母上合并分子。

$1 + 4 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0))$

解题步骤 2.10

化简分子。

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解题步骤 2.10.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$1 + 4 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0))$

解题步骤 2.10.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$1 + 4 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0))$

解题步骤 2.11

将负号移到分数的前面。

$1 + 4 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0))$

解题步骤 2.12

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1 + 4 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1)$

解题步骤 2.13

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$1 + 4 (\frac{{(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1)$

解题步骤 2.14

将 $\frac{{(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 乘以 $1$ 。

$1 + 4 \frac{{(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 2.15

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$1 + 4 \frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.16

组合 $4$ 和 $\frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$1 + \frac{4}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.17

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$1 + \frac{2 \cdot 2}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.18

约去公因数。

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解题步骤 2.18.1

从 $2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$1 + \frac{2 \cdot 2}{2 ({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 2.18.2

约去公因数。

$1 + \frac{2 \cdot 2}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.18.3

重写表达式。

$1 + \frac{2}{{(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

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