微积分学示例

$y = \sqrt[3]{x^{2} + 5}$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x^{2} + 5}$ 重写成 ${(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}}$ 。

$y = {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 2

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}})$

解题步骤 3

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 4

对方程右边求微分。

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解题步骤 4.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ 且 $g (x) = x^{2} + 5$ 。

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解题步骤 4.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + 5$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

解题步骤 4.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

解题步骤 4.1.3

使用 $x^{2} + 5$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

解题步骤 4.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

解题步骤 4.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

解题步骤 4.4

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

解题步骤 4.5

化简分子。

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解题步骤 4.5.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

解题步骤 4.5.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 5)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

解题步骤 4.6

合并分数。

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解题步骤 4.6.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 5)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

解题步骤 4.6.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 ${(x^{2} + 5)}^{- \frac{2}{3}}$ 。

$\frac{{(x^{2} + 5)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

解题步骤 4.6.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x^{2} + 5)}^{- \frac{2}{3}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

解题步骤 4.7

根据加法法则， $x^{2} + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$\frac{1}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])$

解题步骤 4.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} (2 x + \frac{d}{d x} [5])$

解题步骤 4.9

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} (2 x + 0)$

解题步骤 4.10

合并分数。

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解题步骤 4.10.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} (2 x)$

解题步骤 4.10.2

组合 $2$ 和 $\frac{1}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$\frac{2}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} x$

解题步骤 4.10.3

组合 $\frac{2}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$ 和 $x$ 。

$\frac{2 x}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 5

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = \frac{2 x}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

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