微积分学示例

$e^{- \frac{1}{2} x^{2}}$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - \frac{1}{2} x^{2}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- \frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

解题步骤 1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

解题步骤 1.3

使用 $- \frac{1}{2} x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{- \frac{1}{2} x^{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

解题步骤 2.2

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]$

解题步骤 2.3

因为 $- \frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{x^{2}}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} (- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 2.4

组合 $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} (2 x)$

解题步骤 2.6

化简项。

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解题步骤 2.6.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} x$

解题步骤 2.6.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2}$ 。

$\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} x$

解题步骤 2.6.3

组合 $\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2}$ 和 $x$ 。

$\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}} x}{2}$

解题步骤 2.6.4

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.6.4.1

从 $- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x)}{2}$

解题步骤 2.6.4.2

约去公因数。

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解题步骤 2.6.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x)}{2 (1)}$

解题步骤 2.6.4.2.2

约去公因数。

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x)}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.6.4.2.3

重写表达式。

$\frac{- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x}{1}$

解题步骤 2.6.4.2.4

用 $- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$ 除以 $1$ 。

$- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$

解题步骤 2.6.5

将 $- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$ 中的因式重新排序。

$- x e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

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