微积分学示例

$\int_{- 1}^{4} [3 y - (y^{2} - 4)] d y$

解题步骤 1

去掉圆括号。

$\int_{- 1}^{4} 3 y - (y^{2} - 4) d y$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{- 1}^{4} 3 y d y + \int_{- 1}^{4} - (y^{2} - 4) d y$

解题步骤 3

由于 $3$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$3 \int_{- 1}^{4} y d y + \int_{- 1}^{4} - (y^{2} - 4) d y$

解题步骤 4

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$3 (\frac{1}{2} y^{2}]_{- 1}^{4}) + \int_{- 1}^{4} - (y^{2} - 4) d y$

解题步骤 5

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $y^{2}$ 。

$3 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{4}) + \int_{- 1}^{4} - (y^{2} - 4) d y$

解题步骤 6

乘以 $- (y^{2} - 4)$ 。

$3 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{4}) + \int_{- 1}^{4} - y^{2} - - 4 d y$

解题步骤 7

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$3 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{4}) + \int_{- 1}^{4} - y^{2} + 4 d y$

解题步骤 8

将单个积分拆分为多个积分。

$3 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{4}) + \int_{- 1}^{4} - y^{2} d y + \int_{- 1}^{4} 4 d y$

解题步骤 9

由于 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$3 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{4}) - \int_{- 1}^{4} y^{2} d y + \int_{- 1}^{4} 4 d y$

解题步骤 10

根据幂法则， $y^{2}$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{3} y^{3}$ 。

$3 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{4}) - (\frac{1}{3} y^{3}]_{- 1}^{4}) + \int_{- 1}^{4} 4 d y$

解题步骤 11

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $y^{3}$ 。

$3 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{4}) - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 1}^{4}) + \int_{- 1}^{4} 4 d y$

解题步骤 12

应用常数不变法则。

$3 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{4}) - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 1}^{4}) + 4 y]_{- 1}^{4}$

解题步骤 13

代入并化简。

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解题步骤 13.1

计算 $\frac{y^{2}}{2}$ 在 $4$ 处和在 $- 1$ 处的值。

$3 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 1}^{4}) + 4 y]_{- 1}^{4}$

解题步骤 13.2

计算 $\frac{y^{3}}{3}$ 在 $4$ 处和在 $- 1$ 处的值。

$3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 4 y]_{- 1}^{4}$

解题步骤 13.3

计算 $4 y$ 在 $4$ 处和在 $- 1$ 处的值。

$3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

解题步骤 13.4

化简。

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解题步骤 13.4.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$3 (\frac{16}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

解题步骤 13.4.2

约去 $16$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 13.4.2.1

从 $16$ 中分解出因数 $2$ 。

$3 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

解题步骤 13.4.2.2

约去公因数。

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解题步骤 13.4.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$3 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

解题步骤 13.4.2.2.2

约去公因数。

$3 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

解题步骤 13.4.2.2.3

重写表达式。

$3 (\frac{8}{1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

解题步骤 13.4.2.2.4

用 $8$ 除以 $1$ 。

$3 (8 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

解题步骤 13.4.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$3 (8 - \frac{1}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

解题步骤 13.4.4

要将 $8$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$3 (8 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

解题步骤 13.4.5

组合 $8$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$3 (\frac{8 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

解题步骤 13.4.6

在公分母上合并分子。

$3 \frac{8 \cdot 2 - 1}{2} - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

解题步骤 13.4.7

化简分子。

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解题步骤 13.4.7.1

将 $8$ 乘以 $2$ 。

$3 \frac{16 - 1}{2} - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

解题步骤 13.4.7.2

从 $16$ 中减去 $1$ 。

$3 (\frac{15}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

解题步骤 13.4.8

组合 $3$ 和 $\frac{15}{2}$ 。

$\frac{3 \cdot 15}{2} - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

解题步骤 13.4.9

将 $3$ 乘以 $15$ 。

$\frac{45}{2} - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

解题步骤 13.4.10

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{45}{2} - (\frac{64}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

解题步骤 13.4.11

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{45}{2} - (\frac{64}{3} - \frac{- 1}{3}) + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

解题步骤 13.4.12

将负号移到分数的前面。

$\frac{45}{2} - (\frac{64}{3} - - \frac{1}{3}) + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

解题步骤 13.4.13

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{45}{2} - (\frac{64}{3} + 1 (\frac{1}{3})) + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

解题步骤 13.4.14

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{45}{2} - (\frac{64}{3} + \frac{1}{3}) + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

解题步骤 13.4.15

在公分母上合并分子。

$\frac{45}{2} - \frac{64 + 1}{3} + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

解题步骤 13.4.16

将 $64$ 和 $1$ 相加。

$\frac{45}{2} - \frac{65}{3} + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

解题步骤 13.4.17

要将 $\frac{45}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{45}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{65}{3} + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

解题步骤 13.4.18

要将 $- \frac{65}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{45}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{65}{3} \cdot \frac{2}{2} + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

解题步骤 13.4.19

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $6$ 的形式。

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解题步骤 13.4.19.1

将 $\frac{45}{2}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{45 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{65}{3} \cdot \frac{2}{2} + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

解题步骤 13.4.19.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{45 \cdot 3}{6} - \frac{65}{3} \cdot \frac{2}{2} + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

解题步骤 13.4.19.3

将 $\frac{65}{3}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{45 \cdot 3}{6} - \frac{65 \cdot 2}{3 \cdot 2} + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

解题步骤 13.4.19.4

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{45 \cdot 3}{6} - \frac{65 \cdot 2}{6} + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

解题步骤 13.4.20

在公分母上合并分子。

$\frac{45 \cdot 3 - 65 \cdot 2}{6} + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

解题步骤 13.4.21

化简分子。

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解题步骤 13.4.21.1

将 $45$ 乘以 $3$ 。

$\frac{135 - 65 \cdot 2}{6} + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

解题步骤 13.4.21.2

将 $- 65$ 乘以 $2$ 。

$\frac{135 - 130}{6} + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

解题步骤 13.4.21.3

从 $135$ 中减去 $130$ 。

$\frac{5}{6} + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

解题步骤 13.4.22

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$\frac{5}{6} + 16 - 4 \cdot - 1$

解题步骤 13.4.23

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{5}{6} + 16 + 4$

解题步骤 13.4.24

将 $16$ 和 $4$ 相加。

$\frac{5}{6} + 20$

解题步骤 13.4.25

要将 $20$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$\frac{5}{6} + 20 \cdot \frac{6}{6}$

解题步骤 13.4.26

组合 $20$ 和 $\frac{6}{6}$ 。

$\frac{5}{6} + \frac{20 \cdot 6}{6}$

解题步骤 13.4.27

在公分母上合并分子。

$\frac{5 + 20 \cdot 6}{6}$

解题步骤 13.4.28

化简分子。

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解题步骤 13.4.28.1

将 $20$ 乘以 $6$ 。

$\frac{5 + 120}{6}$

解题步骤 13.4.28.2

将 $5$ 和 $120$ 相加。

$\frac{125}{6}$

解题步骤 14

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{125}{6}$

小数形式：

$20.8\overline{3}$

带分数形式：

$20 \frac{5}{6}$

解题步骤 15

微积分学 示例

微积分学示例