微积分学示例

$f (x) = {(4 - 5 x)}^{4}$

解题步骤 1

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 2

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int {(4 - 5 x)}^{4} d x$

解题步骤 3

使 $u = 4 - 5 x$ 。然后使 $d u = - 5 d x$ ，以便 $- \frac{1}{5} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 3.1

设 $u = 4 - 5 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 3.1.1

对 $4 - 5 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [4 - 5 x]$

解题步骤 3.1.2

求微分。

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解题步骤 3.1.2.1

根据加法法则， $4 - 5 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

解题步骤 3.1.2.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

解题步骤 3.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ 。

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解题步骤 3.1.3.1

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$0 - 5 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 - 5 \cdot 1$

解题步骤 3.1.3.3

将 $- 5$ 乘以 $1$ 。

$0 - 5$

解题步骤 3.1.4

从 $0$ 中减去 $5$ 。

$- 5$

解题步骤 3.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int u^{4} \frac{1}{- 5} d u$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

将负号移到分数的前面。

$\int u^{4} (- \frac{1}{5}) d u$

解题步骤 4.2

组合 $u^{4}$ 和 $\frac{1}{5}$ 。

$\int - \frac{u^{4}}{5} d u$

解题步骤 5

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int \frac{u^{4}}{5} d u$

解题步骤 6

由于 $\frac{1}{5}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{5}$ 移到积分外。

$- (\frac{1}{5} \int u^{4} d u)$

解题步骤 7

根据幂法则， $u^{4}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{5} u^{5}$ 。

$- \frac{1}{5} (\frac{1}{5} u^{5} + C)$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

将 $- \frac{1}{5} (\frac{1}{5} u^{5} + C)$ 重写为 $- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} u^{5} + C$ 。

$- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} u^{5} + C$

解题步骤 8.2

化简。

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解题步骤 8.2.1

将 $\frac{1}{5}$ 乘以 $\frac{1}{5}$ 。

$- \frac{1}{5 \cdot 5} u^{5} + C$

解题步骤 8.2.2

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$- \frac{1}{25} u^{5} + C$

解题步骤 9

使用 $4 - 5 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{1}{25} {(4 - 5 x)}^{5} + C$

解题步骤 10

答案是函数 $f (x) = {(4 - 5 x)}^{4}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $- \frac{1}{25} {(4 - 5 x)}^{5} + C$

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