微积分学示例

$\frac{d}{d x} \cdot \frac{6 x}{e^{x}}$

解题步骤 1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{6 x}{e^{x}}$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{e^{x}}]$ 。

$6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{e^{x}}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = e^{x}$ 。

$6 \frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

解题步骤 3

使用幂法则求微分。

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解题步骤 3.1

将 ${(e^{x})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$6 \frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

解题步骤 3.1.2

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$6 \frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$6 \frac{e^{x} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

解题步骤 3.3

将 $e^{x}$ 乘以 $1$ 。

$6 \frac{e^{x} - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

解题步骤 4

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$6 \frac{e^{x} - x e^{x}}{e^{2 x}}$

解题步骤 5

组合 $6$ 和 $\frac{e^{x} - x e^{x}}{e^{2 x}}$ 。

$\frac{6 (e^{x} - x e^{x})}{e^{2 x}}$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$\frac{6 e^{x} + 6 (- x e^{x})}{e^{2 x}}$

解题步骤 6.2

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$\frac{6 e^{x} - 6 x e^{x}}{e^{2 x}}$

解题步骤 6.3

重新排序项。

$\frac{- 6 e^{x} x + 6 e^{x}}{e^{2 x}}$

解题步骤 6.4

从 $- 6 e^{x} x + 6 e^{x}$ 中分解出因数 $6 e^{x}$ 。

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解题步骤 6.4.1

从 $- 6 e^{x} x$ 中分解出因数 $6 e^{x}$ 。

$\frac{6 e^{x} (- x) + 6 e^{x}}{e^{2 x}}$

解题步骤 6.4.2

从 $6 e^{x}$ 中分解出因数 $6 e^{x}$ 。

$\frac{6 e^{x} (- x) + 6 e^{x} (1)}{e^{2 x}}$

解题步骤 6.4.3

从 $6 e^{x} (- x) + 6 e^{x} (1)$ 中分解出因数 $6 e^{x}$ 。

$\frac{6 e^{x} (- x + 1)}{e^{2 x}}$

解题步骤 6.5

约去 $e^{x}$ 和 $e^{2 x}$ 的公因数。

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解题步骤 6.5.1

从 $6 e^{x} (- x + 1)$ 中分解出因数 $e^{2 x}$ 。

$\frac{e^{2 x} (6 e^{- x} (- x + 1))}{e^{2 x}}$

解题步骤 6.5.2

约去公因数。

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解题步骤 6.5.2.1

乘以 $1$ 。

$\frac{e^{2 x} (6 e^{- x} (- x + 1))}{e^{2 x} \cdot 1}$

解题步骤 6.5.2.2

约去公因数。

$\frac{e^{2 x} (6 e^{- x} (- x + 1))}{e^{2 x} \cdot 1}$

解题步骤 6.5.2.3

重写表达式。

$\frac{6 e^{- x} (- x + 1)}{1}$

解题步骤 6.5.2.4

用 $6 e^{- x} (- x + 1)$ 除以 $1$ 。

$6 e^{- x} (- x + 1)$

解题步骤 6.6

运用分配律。

$6 e^{- x} (- x) + 6 e^{- x} \cdot 1$

解题步骤 6.7

使用乘法的交换性质重写。

$6 \cdot - 1 e^{- x} x + 6 e^{- x} \cdot 1$

解题步骤 6.8

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$6 \cdot - 1 e^{- x} x + 6 e^{- x}$

解题步骤 6.9

将 $6$ 乘以 $- 1$ 。

$- 6 e^{- x} x + 6 e^{- x}$

解题步骤 6.10

将 $- 6 e^{- x} x + 6 e^{- x}$ 中的因式重新排序。

$- 6 x e^{- x} + 6 e^{- x}$

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