微积分学示例

$5 - 2 x^{2} + y^{3} + y^{2} = x$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (5 - 2 x^{2} + y^{3} + y^{2}) = \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

求微分。

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解题步骤 2.1.1

根据加法法则， $5 - 2 x^{2} + y^{3} + y^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

解题步骤 2.1.2

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$0 - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

解题步骤 2.2.3

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$0 - 4 x + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $y$ 。

$0 - 4 x + \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

解题步骤 2.3.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$0 - 4 x + 3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

解题步骤 2.3.1.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$0 - 4 x + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

解题步骤 2.3.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$0 - 4 x + 3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

解题步骤 2.4

计算 $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ 。

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解题步骤 2.4.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 2.4.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $y$ 。

$0 - 4 x + 3 y^{2} y' + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.4.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$0 - 4 x + 3 y^{2} y' + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.4.1.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$0 - 4 x + 3 y^{2} y' + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.4.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$0 - 4 x + 3 y^{2} y' + 2 y y'$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

从 $0$ 中减去 $4 x$ 。

$- 4 x + 3 y^{2} y' + 2 y y'$

解题步骤 2.5.2

重新排序项。

$3 y^{2} y' + 2 y y' - 4 x$

解题步骤 3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$3 y^{2} y' + 2 y y' - 4 x = 1$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

在等式两边都加上 $4 x$ 。

$3 y^{2} y' + 2 y y' = 1 + 4 x$

解题步骤 5.2

从 $3 y^{2} y' + 2 y y'$ 中分解出因数 $y y'$ 。

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解题步骤 5.2.1

从 $3 y^{2} y'$ 中分解出因数 $y y'$ 。

$y y' (3 y) + 2 y y' = 1 + 4 x$

解题步骤 5.2.2

从 $2 y y'$ 中分解出因数 $y y'$ 。

$y y' (3 y) + y y' \cdot 2 = 1 + 4 x$

解题步骤 5.2.3

从 $y y' (3 y) + y y' \cdot 2$ 中分解出因数 $y y'$ 。

$y y' (3 y + 2) = 1 + 4 x$

解题步骤 5.3

将 $y y' (3 y + 2) = 1 + 4 x$ 中的每一项除以 $y (3 y + 2)$ 并化简。

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解题步骤 5.3.1

将 $y y' (3 y + 2) = 1 + 4 x$ 中的每一项都除以 $y (3 y + 2)$ 。

$\frac{y y' (3 y + 2)}{y (3 y + 2)} = \frac{1}{y (3 y + 2)} + \frac{4 x}{y (3 y + 2)}$

解题步骤 5.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.1

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y y' (3 y + 2)}{y (3 y + 2)} = \frac{1}{y (3 y + 2)} + \frac{4 x}{y (3 y + 2)}$

解题步骤 5.3.2.1.2

重写表达式。

$\frac{y' (3 y + 2)}{3 y + 2} = \frac{1}{y (3 y + 2)} + \frac{4 x}{y (3 y + 2)}$

解题步骤 5.3.2.2

约去 $3 y + 2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.2.1

约去公因数。

$\frac{y' (3 y + 2)}{3 y + 2} = \frac{1}{y (3 y + 2)} + \frac{4 x}{y (3 y + 2)}$

解题步骤 5.3.2.2.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{1}{y (3 y + 2)} + \frac{4 x}{y (3 y + 2)}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y (3 y + 2)} + \frac{4 x}{y (3 y + 2)}$

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