微积分学示例

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} 7 \cot^{2} (x) d x$

解题步骤 1

由于 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $7$ 移到积分外。

$7 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \cot^{2} (x) d x$

解题步骤 2

使用勾股定理，将 $\cot^{2} (x)$ 重写成 $- 1 + \csc^{2} (x)$ 的形式。

$7 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} - 1 + \csc^{2} (x) d x$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$7 (\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} - 1 d x + \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \csc^{2} (x) d x)$

解题步骤 4

应用常数不变法则。

$7 (- x]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} + \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \csc^{2} (x) d x)$

解题步骤 5

因为 $- \cot (x)$ 的导数为 $\csc^{2} (x)$ ，所以 $\csc^{2} (x)$ 的积分为 $- \cot (x)$ 。

$7 (- x]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} + - \cot (x)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}})$

解题步骤 6

化简答案。

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解题步骤 6.1

组合 $- x]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}}$ 和 $- \cot (x)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}}$ 。

$7 (- x - \cot (x)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}})$

解题步骤 6.2

计算 $- x - \cot (x)$ 在 $\frac{π}{2}$ 处和在 $\frac{π}{6}$ 处的值。

$7 (- \frac{π}{2} - \cot (\frac{π}{2}) - (- \frac{π}{6} - \cot (\frac{π}{6})))$

解题步骤 6.3

化简。

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解题步骤 6.3.1

$\cot (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

$7 (- \frac{π}{2} - 0 - (- \frac{π}{6} - \cot (\frac{π}{6})))$

解题步骤 6.3.2

$\cot (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\sqrt{3}$ 。

$7 (- \frac{π}{2} - 0 - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$

解题步骤 6.3.3

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$7 (- \frac{π}{2} + 0 - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$

解题步骤 6.3.4

将 $- \frac{π}{2}$ 和 $0$ 相加。

$7 (- \frac{π}{2} - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$

解题步骤 6.3.5

要将 $- (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$7 (- \frac{π}{2} - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}) \cdot \frac{2}{2})$

解题步骤 6.3.6

组合 $- (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$7 (- \frac{π}{2} + \frac{- (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}) \cdot 2}{2})$

解题步骤 6.3.7

在公分母上合并分子。

$7 \frac{- π - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}) \cdot 2}{2}$

解题步骤 6.3.8

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$7 \frac{- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})}{2}$

解题步骤 6.3.9

组合 $7$ 和 $\frac{- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})}{2}$ 。

$\frac{7 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))}{2}$

解题步骤 6.3.10

从 $- π$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{7 (- (π) - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))}{2}$

解题步骤 6.3.11

从 $- 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{7 (- (π) - (2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})))}{2}$

解题步骤 6.3.12

从 $- (π) - (2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{7 (- (π + 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})))}{2}$

解题步骤 6.3.13

将 $- (π + 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$ 重写为 $- 1 (π + 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$ 。

$\frac{7 (- 1 (π + 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})))}{2}$

解题步骤 6.3.14

将负号移到分数的前面。

$- \frac{7 (π + 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))}{2}$

解题步骤 6.4

化简。

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解题步骤 6.4.1

运用分配律。

$- \frac{7 (π + 2 (- \frac{π}{6}) + 2 (- \sqrt{3}))}{2}$

解题步骤 6.4.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.2.1

将 $- \frac{π}{6}$ 中前置负号移到分子中。

$- \frac{7 (π + 2 \frac{- π}{6} + 2 (- \sqrt{3}))}{2}$

解题步骤 6.4.2.2

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{7 (π + 2 \frac{- π}{2 (3)} + 2 (- \sqrt{3}))}{2}$

解题步骤 6.4.2.3

约去公因数。

$- \frac{7 (π + 2 \frac{- π}{2 \cdot 3} + 2 (- \sqrt{3}))}{2}$

解题步骤 6.4.2.4

重写表达式。

$- \frac{7 (π + \frac{- π}{3} + 2 (- \sqrt{3}))}{2}$

解题步骤 6.4.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{7 (π + \frac{- π}{3} - 2 \sqrt{3})}{2}$

解题步骤 6.4.4

将负号移到分数的前面。

$- \frac{7 (π - \frac{π}{3} - 2 \sqrt{3})}{2}$

解题步骤 6.4.5

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$- \frac{7 (π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3} - 2 \sqrt{3})}{2}$

解题步骤 6.4.6

组合 $π$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$- \frac{7 (\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3} - 2 \sqrt{3})}{2}$

解题步骤 6.4.7

在公分母上合并分子。

$- \frac{7 (\frac{π \cdot 3 - π}{3} - 2 \sqrt{3})}{2}$

解题步骤 6.4.8

将 $3$ 移到 $π$ 的左侧。

$- \frac{7 (\frac{3 \cdot π - π}{3} - 2 \sqrt{3})}{2}$

解题步骤 6.4.9

从 $3 π$ 中减去 $π$ 。

$- \frac{7 (\frac{2 π}{3} - 2 \sqrt{3})}{2}$

解题步骤 6.4.10

运用分配律。

$- \frac{7 \frac{2 π}{3} + 7 (- 2 \sqrt{3})}{2}$

解题步骤 6.4.11

乘以 $7 \frac{2 π}{3}$ 。

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解题步骤 6.4.11.1

组合 $7$ 和 $\frac{2 π}{3}$ 。

$- \frac{\frac{7 (2 π)}{3} + 7 (- 2 \sqrt{3})}{2}$

解题步骤 6.4.11.2

将 $2$ 乘以 $7$ 。

$- \frac{\frac{14 π}{3} + 7 (- 2 \sqrt{3})}{2}$

解题步骤 6.4.12

将 $- 2$ 乘以 $7$ 。

$- \frac{\frac{14 π}{3} - 14 \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 6.4.13

约去 $\frac{14 π}{3} - 14 \sqrt{3}$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.13.1

从 $\frac{14 π}{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{2 \frac{7 π}{3} - 14 \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 6.4.13.2

从 $- 14 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{2 \frac{7 π}{3} + 2 (- 7 \sqrt{3})}{2}$

解题步骤 6.4.13.3

从 $2 \frac{7 π}{3} + 2 (- 7 \sqrt{3})$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{2 (\frac{7 π}{3} - 7 \sqrt{3})}{2}$

解题步骤 6.4.13.4

约去公因数。

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解题步骤 6.4.13.4.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{2 (\frac{7 π}{3} - 7 \sqrt{3})}{2 (1)}$

解题步骤 6.4.13.4.2

约去公因数。

$- \frac{2 (\frac{7 π}{3} - 7 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.4.13.4.3

重写表达式。

$- \frac{\frac{7 π}{3} - 7 \sqrt{3}}{1}$

解题步骤 6.4.13.4.4

用 $\frac{7 π}{3} - 7 \sqrt{3}$ 除以 $1$ 。

$- (\frac{7 π}{3} - 7 \sqrt{3})$

解题步骤 6.4.14

运用分配律。

$- \frac{7 π}{3} - (- 7 \sqrt{3})$

解题步骤 6.4.15

将 $- 7$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{7 π}{3} + 7 \sqrt{3}$

解题步骤 7

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{7 π}{3} + 7 \sqrt{3}$

小数形式：

$4.79397279 \dots$

微积分学 示例

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