微积分学示例

$\int_{0}^{2} \frac{x^{2} - 2}{x + 1} d x$

解题步骤 1

用 $x^{2} - 2$ 除以 $x + 1$ 。

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解题步骤 1.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$2$

解题步骤 1.2

将被除数中的最高阶项 $x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$x$
	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$

解题步骤 1.3

将新的商式项乘以除数。

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
			+	$x^{2}$	+	$x$

解题步骤 1.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{2} + x$ 中的所有符号

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
			-	$x^{2}$	-	$x$

解题步骤 1.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$

解题步骤 1.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	-	$2$

解题步骤 1.7

将被除数中的最高阶项 $- x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	-	$2$

解题步骤 1.8

将新的商式项乘以除数。

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	-	$2$
					-	$x$	-	$1$

解题步骤 1.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- x - 1$ 中的所有符号

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	-	$2$
					+	$x$	+	$1$

解题步骤 1.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	-	$2$
					+	$x$	+	$1$
							-	$1$

解题步骤 1.11

最终答案为商加上余数除以除数。

$\int_{0}^{2} x - 1 - \frac{1}{x + 1} d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{0}^{2} x d x + \int_{0}^{2} - 1 d x + \int_{0}^{2} - \frac{1}{x + 1} d x$

解题步骤 3

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} - 1 d x + \int_{0}^{2} - \frac{1}{x + 1} d x$

解题步骤 4

应用常数不变法则。

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2} + - x]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} - \frac{1}{x + 1} d x$

解题步骤 5

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2} + - x]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{1}{x + 1} d x$

解题步骤 6

使 $u = x + 1$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 6.1

设 $u = x + 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 6.1.1

对 $x + 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 6.1.2

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 6.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 6.1.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 6.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 6.2

将下限代入替换 $u = x + 1$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 0 + 1$

解题步骤 6.3

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$u_{lower} = 1$

解题步骤 6.4

将上限代入替换 $u = x + 1$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 2 + 1$

解题步骤 6.5

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$u_{upper} = 3$

解题步骤 6.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 3$

解题步骤 6.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2} + - x]_{0}^{2} - \int_{1}^{3} \frac{1}{u} d u$

解题步骤 7

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2} + - x]_{0}^{2} - (\ln (| u |)]_{1}^{3})$

解题步骤 8

组合 $\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2}$ 和 $- x]_{0}^{2}$ 。

$\frac{1}{2} x^{2} - x]_{0}^{2} - (\ln (| u |)]_{1}^{3})$

解题步骤 9

代入并化简。

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解题步骤 9.1

计算 $\frac{1}{2} x^{2} - x$ 在 $2$ 处和在 $0$ 处的值。

$(\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2) - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0) - (\ln (| u |)]_{1}^{3})$

解题步骤 9.2

计算 $\ln (| u |)$ 在 $3$ 处和在 $1$ 处的值。

$(\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2) - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 9.3

化简。

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解题步骤 9.3.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{1}{2} \cdot 4 - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 9.3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $4$ 。

$\frac{4}{2} - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 9.3.3

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.3.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 2}{2} - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 9.3.3.2

约去公因数。

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解题步骤 9.3.3.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 9.3.3.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 9.3.3.2.3

重写表达式。

$\frac{2}{1} - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 9.3.3.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$2 - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 9.3.4

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$2 - 2 - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 9.3.5

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$0 - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 9.3.6

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 - (\frac{1}{2} \cdot 0 - 0) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 9.3.7

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $0$ 。

$0 - (0 - 0) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 9.3.8

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$0 - (0 + 0) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 9.3.9

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0 - 0 - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 9.3.10

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$0 + 0 - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 9.3.11

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0 - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 9.3.12

从 $0$ 中减去 $\ln (| 3 |) - \ln (| 1 |)$ 。

$- (\ln (| 3 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 10

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$- \ln (\frac{| 3 |}{| 1 |})$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $3$ 之间的距离为 $3$ 。

$- \ln (\frac{3}{| 1 |})$

解题步骤 11.2

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$- \ln (\frac{3}{1})$

解题步骤 11.3

用 $3$ 除以 $1$ 。

$- \ln (3)$

解题步骤 12

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \ln (3)$

小数形式：

$- 1.09861228 \dots$

解题步骤 13

微积分学 示例

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