微积分学示例

$\frac{e^{- x}}{1 + e^{- x}}$

解题步骤 1

将 $\frac{e^{- x}}{1 + e^{- x}}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{e^{- x}}{1 + e^{- x}}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{e^{- x}}{1 + e^{- x}} d x$

解题步骤 4

使 $u_{2} = 1 + e^{- x}$ 。然后使 $d u_{2} = - e^{- x} d x$ ，以便 $- \frac{1}{e^{- x}} d u_{2} = d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 4.1

设 $u_{2} = 1 + e^{- x}$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 4.1.1

对 $1 + e^{- x}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [1 + e^{- x}]$

解题步骤 4.1.2

求微分。

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解题步骤 4.1.2.1

根据加法法则， $1 + e^{- x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ 。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

解题步骤 4.1.2.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

解题步骤 4.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ 。

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解题步骤 4.1.3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x$ 。

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解题步骤 4.1.3.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $- x$ 。

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 4.1.3.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$0 + e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 4.1.3.1.3

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$0 + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 4.1.3.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$0 + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 4.1.3.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$0 + e^{- x} \cdot - 1$

解题步骤 4.1.3.5

将 $- 1$ 移到 $e^{- x}$ 的左侧。

$0 - 1 \cdot e^{- x}$

解题步骤 4.1.3.6

将 $- 1 e^{- x}$ 重写为 $- e^{- x}$ 。

$0 - e^{- x}$

解题步骤 4.1.4

从 $0$ 中减去 $e^{- x}$ 。

$- e^{- x}$

解题步骤 4.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\int \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 5

将分数分解成多个分数。

$\int - \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 6

由于 $- 1$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 7

$\frac{1}{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\ln (| u_{2} |)$ 。

$- (\ln (| u_{2} |) + C)$

解题步骤 8

化简。

$- \ln (| u_{2} |) + C$

解题步骤 9

使用 $1 + e^{- x}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- \ln (| 1 + e^{- x} |) + C$

解题步骤 10

答案是函数 $f (x) = \frac{e^{- x}}{1 + e^{- x}}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $- \ln (| 1 + e^{- x} |) + C$

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