微积分学示例

$\int_{1}^{e} \frac{\ln (x)}{11 x^{2}} d x$

解题步骤 1

由于 $\frac{1}{11}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{11}$ 移到积分外。

$\frac{1}{11} \int_{1}^{e} \frac{\ln (x)}{x^{2}} d x$

解题步骤 2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.1

通过将 $x^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\frac{1}{11} \int_{1}^{e} \ln (x) {(x^{2})}^{- 1} d x$

解题步骤 2.2

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{11} \int_{1}^{e} \ln (x) x^{2 \cdot - 1} d x$

解题步骤 2.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{11} \int_{1}^{e} \ln (x) x^{- 2} d x$

解题步骤 3

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \ln (x)$ ， $d v = x^{- 2}$ 。

$\frac{1}{11} (\ln (x) (- \frac{1}{x})]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x)$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

组合 $\ln (x)$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{1}{11} (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x)$

解题步骤 4.2

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{1}{11} (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x \cdot x} d x)$

解题步骤 4.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{11} (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x^{1} x} d x)$

解题步骤 4.4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{11} (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x^{1} x^{1}} d x)$

解题步骤 4.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{11} (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x^{1 + 1}} d x)$

解题步骤 4.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{11} (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x^{2}} d x)$

解题步骤 5

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{11} (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - - \int_{1}^{e} \frac{1}{x^{2}} d x)$

解题步骤 6

化简表达式。

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解题步骤 6.1

化简。

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解题步骤 6.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{11} (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + 1 \int_{1}^{e} \frac{1}{x^{2}} d x)$

解题步骤 6.1.2

将 $\int_{1}^{e} \frac{1}{x^{2}} d x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{11} (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} \frac{1}{x^{2}} d x)$

解题步骤 6.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 6.2.1

通过将 $x^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\frac{1}{11} (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} {(x^{2})}^{- 1} d x)$

解题步骤 6.2.2

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{11} (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} x^{2 \cdot - 1} d x)$

解题步骤 6.2.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{11} (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} x^{- 2} d x)$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{- 2}$ 对 $x$ 的积分是 $- x^{- 1}$ 。

$\frac{1}{11} (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + - x^{- 1}]_{1}^{e})$

解题步骤 8

化简答案。

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解题步骤 8.1

组合 $- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e}$ 和 $- x^{- 1}]_{1}^{e}$ 。

$\frac{1}{11} - \frac{\ln (x)}{x} - x^{- 1}]_{1}^{e}$

解题步骤 8.2

代入并化简。

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解题步骤 8.2.1

计算 $- \frac{\ln (x)}{x} - x^{- 1}$ 在 $e$ 处和在 $1$ 处的值。

$\frac{1}{11} ((- \frac{\ln (e)}{e} - e^{- 1}) - (- \frac{\ln (1)}{1} - 1^{- 1}))$

解题步骤 8.2.2

化简。

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解题步骤 8.2.2.1

用 $\ln (1)$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{11} (- \frac{\ln (e)}{e} - e^{- 1} - (- \ln (1) - 1^{- 1}))$

解题步骤 8.2.2.2

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{11} (- \frac{\ln (e)}{e} - e^{- 1} - (- \ln (1) - 1 \cdot 1))$

解题步骤 8.2.2.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{11} (- \frac{\ln (e)}{e} - e^{- 1} - (- \ln (1) - 1))$

解题步骤 8.2.2.4

要将 $- (- \ln (1) - 1)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{e}{e}$ 。

$\frac{1}{11} (- e^{- 1} - \frac{\ln (e)}{e} - (- \ln (1) - 1) \cdot \frac{e}{e})$

解题步骤 8.2.2.5

组合 $- (- \ln (1) - 1)$ 和 $\frac{e}{e}$ 。

$\frac{1}{11} (- e^{- 1} - \frac{\ln (e)}{e} + \frac{- (- \ln (1) - 1) e}{e})$

解题步骤 8.2.2.6

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{11} (- e^{- 1} + \frac{- \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e})$

解题步骤 8.2.2.7

要将 $- e^{- 1}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{e}{e}$ 。

$\frac{1}{11} (- e^{- 1} \cdot \frac{e}{e} + \frac{- \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e})$

解题步骤 8.2.2.8

组合 $- e^{- 1}$ 和 $\frac{e}{e}$ 。

$\frac{1}{11} (\frac{- e^{- 1} e}{e} + \frac{- \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e})$

解题步骤 8.2.2.9

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{11} \cdot \frac{- e^{- 1} e - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

解题步骤 8.2.2.10

对 $e$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{11} \cdot \frac{- (e^{1} e^{- 1}) - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

解题步骤 8.2.2.11

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{11} \cdot \frac{- e^{1 - 1} - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

解题步骤 8.2.2.12

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{1}{11} \cdot \frac{- e^{0} - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

解题步骤 8.2.2.13

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\frac{1}{11} \cdot \frac{- 1 \cdot 1 - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

解题步骤 8.2.2.14

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{11} \cdot \frac{- 1 - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

解题步骤 8.2.2.15

将 $\frac{1}{11}$ 乘以 $\frac{- 1 - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$ 。

$\frac{- 1 - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{11 e}$

解题步骤 8.3

化简。

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解题步骤 8.3.1

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$\frac{- 1 (1) - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{11 e}$

解题步骤 8.3.2

从 $- \ln (e)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 1 (1) - (\ln (e)) - (- \ln (1) - 1) e}{11 e}$

解题步骤 8.3.3

从 $- 1 (1) - (\ln (e))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 1 (1 + \ln (e)) - (- \ln (1) - 1) e}{11 e}$

解题步骤 8.3.4

从 $- (- \ln (1) - 1) e$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 1 (1 + \ln (e)) - ((- \ln (1) - 1) e)}{11 e}$

解题步骤 8.3.5

从 $- 1 (1 + \ln (e)) - ((- \ln (1) - 1) e)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 1 (1 + \ln (e) + (- \ln (1) - 1) e)}{11 e}$

解题步骤 8.3.6

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1 + \ln (e) + (- \ln (1) - 1) e}{11 e}$

解题步骤 8.4

化简。

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解题步骤 8.4.1

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$- \frac{1 + \ln (e) + (- 0 - 1) e}{11 e}$

解题步骤 8.4.2

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$- \frac{1 + \ln (e) + (0 - 1) e}{11 e}$

解题步骤 8.4.3

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$- \frac{1 + \ln (e) - 1 e}{11 e}$

解题步骤 8.4.4

将 $- 1 e$ 重写为 $- e$ 。

$- \frac{1 + \ln (e) - e}{11 e}$

解题步骤 8.4.5

化简分子。

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解题步骤 8.4.5.1

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$- \frac{1 + 1 - e}{11 e}$

解题步骤 8.4.5.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{2 - e}{11 e}$

解题步骤 9

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{2 - e}{11 e}$

小数形式：

$0.02402191 \dots$

微积分学 示例

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