微积分学示例

$(5 x + 1) e^{x}$

解题步骤 1

将 $(5 x + 1) e^{x}$ 书写为一个函数。

$f (x) = (5 x + 1) e^{x}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int (5 x + 1) e^{x} d x$

解题步骤 4

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = 5 x + 1$ ， $d v = e^{x}$ 。

$(5 x + 1) e^{x} - \int e^{x} \cdot 5 d x$

解题步骤 5

将 $5$ 移到 $e^{x}$ 的左侧。

$(5 x + 1) e^{x} - \int 5 e^{x} d x$

解题步骤 6

由于 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$(5 x + 1) e^{x} - (5 \int e^{x} d x)$

解题步骤 7

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$(5 x + 1) e^{x} - 5 \int e^{x} d x$

解题步骤 8

$e^{x}$ 对 $x$ 的积分为 $e^{x}$ 。

$(5 x + 1) e^{x} - 5 (e^{x} + C)$

解题步骤 9

化简答案。

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解题步骤 9.1

将 $(5 x + 1) e^{x} - 5 (e^{x} + C)$ 重写为 $5 x e^{x} + e^{x} - 5 e^{x} + C$ 。

$5 x e^{x} + e^{x} - 5 e^{x} + C$

解题步骤 9.2

从 $e^{x}$ 中减去 $5 e^{x}$ 。

$5 x e^{x} - 4 e^{x} + C$

解题步骤 10

答案是函数 $f (x) = (5 x + 1) e^{x}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $5 x e^{x} - 4 e^{x} + C$

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