微积分学示例

$y = e^{x^{3} + 8 x^{2}}$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = x^{3} + 8 x^{2}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{3} + 8 x^{2}$ 。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{3} + 8 x^{2}]$

解题步骤 1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u} \frac{d}{d x} [x^{3} + 8 x^{2}]$

解题步骤 1.3

使用 $x^{3} + 8 x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{x^{3} + 8 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 8 x^{2}]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $x^{3} + 8 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ 。

$e^{x^{3} + 8 x^{2}} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}])$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$e^{x^{3} + 8 x^{2}} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [8 x^{2}])$

解题步骤 2.3

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$e^{x^{3} + 8 x^{2}} (3 x^{2} + 8 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$e^{x^{3} + 8 x^{2}} (3 x^{2} + 8 (2 x))$

解题步骤 2.5

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$e^{x^{3} + 8 x^{2}} (3 x^{2} + 16 x)$

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