微积分学示例

$y = 4 - 6 x + x^{3}$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $4 - 6 x + x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 1.1.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$0 - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 1.2.3

将 $- 6$ 乘以 $1$ 。

$0 - 6 + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$0 - 6 + 3 x^{2}$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

从 $0$ 中减去 $6$ 。

$- 6 + 3 x^{2}$

解题步骤 1.4.2

重新排序项。

$3 x^{2} - 6$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $3 x^{2} - 6$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6)$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6)$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 6)$

解题步骤 2.2.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 6)$

解题步骤 2.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 6 x + 0$

解题步骤 2.3.2

将 $6 x$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 6 x$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$3 x^{2} - 6 = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

求微分。

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解题步骤 4.1.1.1

根据加法法则， $4 - 6 x + x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 4.1.1.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 4.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$0 - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 4.1.2.3

将 $- 6$ 乘以 $1$ 。

$0 - 6 + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 4.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$0 - 6 + 3 x^{2}$

解题步骤 4.1.4

化简。

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解题步骤 4.1.4.1

从 $0$ 中减去 $6$ 。

$- 6 + 3 x^{2}$

解题步骤 4.1.4.2

重新排序项。

$f' (x) = 3 x^{2} - 6$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $3 x^{2} - 6$ 。

$3 x^{2} - 6$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $3 x^{2} - 6 = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$3 x^{2} - 6 = 0$

解题步骤 5.2

在等式两边都加上 $6$ 。

$3 x^{2} = 6$

解题步骤 5.3

将 $3 x^{2} = 6$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 5.3.1

将 $3 x^{2} = 6$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{6}{3}$

解题步骤 5.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{6}{3}$

解题步骤 5.3.2.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{6}{3}$

解题步骤 5.3.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.3.1

用 $6$ 除以 $3$ 。

$x^{2} = 2$

解题步骤 5.4

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{2}$

解题步骤 5.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 5.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \sqrt{2}$

解题步骤 5.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \sqrt{2}$

解题步骤 5.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

解题步骤 8

计算在 $x = \sqrt{2}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$6 (\sqrt{2})$

解题步骤 9

将 $6$ 乘以 $\sqrt{2}$ 。

$6 \sqrt{2}$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = \sqrt{2}$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \sqrt{2}$ 是一个极小值

解题步骤 11

求 $x = \sqrt{2}$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $\sqrt{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\sqrt{2}) = 4 - 6 \sqrt{2} + {(\sqrt{2})}^{3}$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

化简每一项。

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解题步骤 11.2.1.1

将 ${\sqrt{2}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{2^{3}}$ 。

$f (\sqrt{2}) = 4 - 6 \sqrt{2} + \sqrt{2^{3}}$

解题步骤 11.2.1.2

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\sqrt{2}) = 4 - 6 \sqrt{2} + \sqrt{8}$

解题步骤 11.2.1.3

将 $8$ 重写为 $2^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 11.2.1.3.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (\sqrt{2}) = 4 - 6 \sqrt{2} + \sqrt{4 (2)}$

解题步骤 11.2.1.3.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$f (\sqrt{2}) = 4 - 6 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

解题步骤 11.2.1.4

从根式下提出各项。

$f (\sqrt{2}) = 4 - 6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2}$

解题步骤 11.2.2

将 $- 6 \sqrt{2}$ 和 $2 \sqrt{2}$ 相加。

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \sqrt{2}$

解题步骤 11.2.3

最终答案为 $4 - 4 \sqrt{2}$ 。

$y = 4 - 4 \sqrt{2}$

解题步骤 12

计算在 $x = - \sqrt{2}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$6 (- \sqrt{2})$

解题步骤 13

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$- 6 \sqrt{2}$

解题步骤 14

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = - \sqrt{2}$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = - \sqrt{2}$ 是一个极大值

解题步骤 15

求 $x = - \sqrt{2}$ 时的 y 值。

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解题步骤 15.1

使用表达式中的 $- \sqrt{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 6 (- \sqrt{2}) + {(- \sqrt{2})}^{3}$

解题步骤 15.2

化简结果。

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解题步骤 15.2.1

化简每一项。

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解题步骤 15.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 6$ 。

$f (- \sqrt{2}) = 4 + 6 \sqrt{2} + {(- \sqrt{2})}^{3}$

解题步骤 15.2.1.2

对 $- \sqrt{2}$ 运用乘积法则。

$f (- \sqrt{2}) = 4 + 6 \sqrt{2} + {(- 1)}^{3} {\sqrt{2}}^{3}$

解题步骤 15.2.1.3

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \sqrt{2}) = 4 + 6 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{3}$

解题步骤 15.2.1.4

将 ${\sqrt{2}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{2^{3}}$ 。

$f (- \sqrt{2}) = 4 + 6 \sqrt{2} - \sqrt{2^{3}}$

解题步骤 15.2.1.5

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \sqrt{2}) = 4 + 6 \sqrt{2} - \sqrt{8}$

解题步骤 15.2.1.6

将 $8$ 重写为 $2^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 15.2.1.6.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (- \sqrt{2}) = 4 + 6 \sqrt{2} - \sqrt{4 (2)}$

解题步骤 15.2.1.6.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$f (- \sqrt{2}) = 4 + 6 \sqrt{2} - \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

解题步骤 15.2.1.7

从根式下提出各项。

$f (- \sqrt{2}) = 4 + 6 \sqrt{2} - (2 \sqrt{2})$

解题步骤 15.2.1.8

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- \sqrt{2}) = 4 + 6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2}$

解题步骤 15.2.2

从 $6 \sqrt{2}$ 中减去 $2 \sqrt{2}$ 。

$f (- \sqrt{2}) = 4 + 4 \sqrt{2}$

解题步骤 15.2.3

最终答案为 $4 + 4 \sqrt{2}$ 。

$y = 4 + 4 \sqrt{2}$

解题步骤 16

这些是 $f (x) = 4 - 6 x + x^{3}$ 的局部极值。

$(\sqrt{2}, 4 - 4 \sqrt{2})$ 是一个局部最小值

$(- \sqrt{2}, 4 + 4 \sqrt{2})$ 是一个局部最大值

解题步骤 17

微积分学 示例

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