微积分学示例

$y = (- 6 + x - 6 x^{2}) (- 9 - 9 x)$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ((- 6 + x - 6 x^{2}) (- 9 - 9 x))$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = - 6 + x - 6 x^{2}$ 且 $g (x) = - 9 - 9 x$ 。

$(- 6 + x - 6 x^{2}) \frac{d}{d x} [- 9 - 9 x] + (- 9 - 9 x) \frac{d}{d x} [- 6 + x - 6 x^{2}]$

解题步骤 3.2

求微分。

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解题步骤 3.2.1

根据加法法则， $- 9 - 9 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 9] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$ 。

$(- 6 + x - 6 x^{2}) (\frac{d}{d x} [- 9] + \frac{d}{d x} [- 9 x]) + (- 9 - 9 x) \frac{d}{d x} [- 6 + x - 6 x^{2}]$

解题步骤 3.2.2

因为 $- 9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(- 6 + x - 6 x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [- 9 x]) + (- 9 - 9 x) \frac{d}{d x} [- 6 + x - 6 x^{2}]$

解题步骤 3.2.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- 9 x]$ 相加。

$(- 6 + x - 6 x^{2}) \frac{d}{d x} [- 9 x] + (- 9 - 9 x) \frac{d}{d x} [- 6 + x - 6 x^{2}]$

解题步骤 3.2.4

因为 $- 9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 9 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$(- 6 + x - 6 x^{2}) (- 9 \frac{d}{d x} [x]) + (- 9 - 9 x) \frac{d}{d x} [- 6 + x - 6 x^{2}]$

解题步骤 3.2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(- 6 + x - 6 x^{2}) (- 9 \cdot 1) + (- 9 - 9 x) \frac{d}{d x} [- 6 + x - 6 x^{2}]$

解题步骤 3.2.6

化简表达式。

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解题步骤 3.2.6.1

将 $- 9$ 乘以 $1$ 。

$(- 6 + x - 6 x^{2}) \cdot - 9 + (- 9 - 9 x) \frac{d}{d x} [- 6 + x - 6 x^{2}]$

解题步骤 3.2.6.2

将 $- 9$ 移到 $- 6 + x - 6 x^{2}$ 的左侧。

$- 9 \cdot (- 6 + x - 6 x^{2}) + (- 9 - 9 x) \frac{d}{d x} [- 6 + x - 6 x^{2}]$

解题步骤 3.2.7

根据加法法则， $- 6 + x - 6 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 6] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ 。

$- 9 (- 6 + x - 6 x^{2}) + (- 9 - 9 x) (\frac{d}{d x} [- 6] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}])$

解题步骤 3.2.8

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 9 (- 6 + x - 6 x^{2}) + (- 9 - 9 x) (0 + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}])$

解题步骤 3.2.9

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [x]$ 相加。

$- 9 (- 6 + x - 6 x^{2}) + (- 9 - 9 x) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}])$

解题步骤 3.2.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 9 (- 6 + x - 6 x^{2}) + (- 9 - 9 x) (1 + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}])$

解题步骤 3.2.11

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$- 9 (- 6 + x - 6 x^{2}) + (- 9 - 9 x) (1 - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3.2.12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- 9 (- 6 + x - 6 x^{2}) + (- 9 - 9 x) (1 - 6 (2 x))$

解题步骤 3.2.13

将 $2$ 乘以 $- 6$ 。

$- 9 (- 6 + x - 6 x^{2}) + (- 9 - 9 x) (1 - 12 x)$

解题步骤 3.3

化简。

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解题步骤 3.3.1

运用分配律。

$- 9 \cdot - 6 - 9 x - 9 (- 6 x^{2}) + (- 9 - 9 x) (1 - 12 x)$

解题步骤 3.3.2

运用分配律。

$- 9 \cdot - 6 - 9 x - 9 (- 6 x^{2}) + (- 9 - 9 x) \cdot 1 + (- 9 - 9 x) (- 12 x)$

解题步骤 3.3.3

运用分配律。

$- 9 \cdot - 6 - 9 x - 9 (- 6 x^{2}) - 9 \cdot 1 - 9 x \cdot 1 + (- 9 - 9 x) (- 12 x)$

解题步骤 3.3.4

运用分配律。

$- 9 \cdot - 6 - 9 x - 9 (- 6 x^{2}) - 9 \cdot 1 - 9 x \cdot 1 - 9 (- 12 x) - 9 x (- 12 x)$

解题步骤 3.3.5

合并项。

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解题步骤 3.3.5.1

将 $- 9$ 乘以 $- 6$ 。

$54 - 9 x - 9 (- 6 x^{2}) - 9 \cdot 1 - 9 x \cdot 1 - 9 (- 12 x) - 9 x (- 12 x)$

解题步骤 3.3.5.2

将 $- 6$ 乘以 $- 9$ 。

$54 - 9 x + 54 x^{2} - 9 \cdot 1 - 9 x \cdot 1 - 9 (- 12 x) - 9 x (- 12 x)$

解题步骤 3.3.5.3

将 $- 9$ 乘以 $1$ 。

$54 - 9 x + 54 x^{2} - 9 - 9 x \cdot 1 - 9 (- 12 x) - 9 x (- 12 x)$

解题步骤 3.3.5.4

将 $- 9$ 乘以 $1$ 。

$54 - 9 x + 54 x^{2} - 9 - 9 x - 9 (- 12 x) - 9 x (- 12 x)$

解题步骤 3.3.5.5

将 $- 12$ 乘以 $- 9$ 。

$54 - 9 x + 54 x^{2} - 9 - 9 x + 108 x - 9 x (- 12 x)$

解题步骤 3.3.5.6

将 $- 12$ 乘以 $- 9$ 。

$54 - 9 x + 54 x^{2} - 9 - 9 x + 108 x + 108 x \cdot x$

解题步骤 3.3.5.7

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$54 - 9 x + 54 x^{2} - 9 - 9 x + 108 x + 108 (x^{1} x)$

解题步骤 3.3.5.8

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$54 - 9 x + 54 x^{2} - 9 - 9 x + 108 x + 108 (x^{1} x^{1})$

解题步骤 3.3.5.9

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$54 - 9 x + 54 x^{2} - 9 - 9 x + 108 x + 108 x^{1 + 1}$

解题步骤 3.3.5.10

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$54 - 9 x + 54 x^{2} - 9 - 9 x + 108 x + 108 x^{2}$

解题步骤 3.3.5.11

将 $- 9 x$ 和 $108 x$ 相加。

$54 - 9 x + 54 x^{2} - 9 + 99 x + 108 x^{2}$

解题步骤 3.3.5.12

从 $54$ 中减去 $9$ 。

$- 9 x + 54 x^{2} + 45 + 99 x + 108 x^{2}$

解题步骤 3.3.5.13

将 $- 9 x$ 和 $99 x$ 相加。

$90 x + 54 x^{2} + 45 + 108 x^{2}$

解题步骤 3.3.5.14

将 $54 x^{2}$ 和 $108 x^{2}$ 相加。

$90 x + 162 x^{2} + 45$

解题步骤 3.3.6

重新排序项。

$162 x^{2} + 90 x + 45$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = 162 x^{2} + 90 x + 45$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = 162 x^{2} + 90 x + 45$

微积分学 示例

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