微积分学示例

$y = x^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (x^{\frac{2}{3}})$

解题步骤 2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 等于 $f' (g (y)) g' (y)$ ，其中 $f (y) = y^{\frac{2}{3}}$ 且 $g (y) = x$ 。

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解题步骤 3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d y} [x]$

解题步骤 3.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{2}{3}$ 。

$\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d y} [x]$

解题步骤 3.1.3

使用 $x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d y} [x]$

解题步骤 3.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d y} [x]$

解题步骤 3.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d y} [x]$

解题步骤 3.4

在公分母上合并分子。

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d y} [x]$

解题步骤 3.5

化简分子。

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解题步骤 3.5.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d y} [x]$

解题步骤 3.5.2

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d y} [x]$

解题步骤 3.6

将负号移到分数的前面。

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d y} [x]$

解题步骤 3.7

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $x^{- \frac{1}{3}}$ 。

$\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d y} [x]$

解题步骤 3.8

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{3}}$ 移动到分母。

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d y} [x]$

解题步骤 3.9

将 $\frac{d}{d y} [x]$ 重写为 $x'$ 。

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} x'$

解题步骤 3.10

组合 $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ 和 $x'$ 。

$\frac{2 x'}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$1 = \frac{2 x'}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 5

求解 $x'$ 。

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解题步骤 5.1

将方程重写为 $\frac{2 x'}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 1$ 。

$\frac{2 x'}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 1$

解题步骤 5.2

两边同时乘以 $3 x^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{2 x'}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 1 (3 x^{\frac{1}{3}})$

解题步骤 5.3

化简。

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解题步骤 5.3.1

化简左边。

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解题步骤 5.3.1.1

化简 $\frac{2 x'}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}})$ 。

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解题步骤 5.3.1.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$3 \frac{2 x'}{3 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 1 (3 x^{\frac{1}{3}})$

解题步骤 5.3.1.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.1.1.2.1

约去公因数。

$3 \frac{2 x'}{3 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 1 (3 x^{\frac{1}{3}})$

解题步骤 5.3.1.1.2.2

重写表达式。

$\frac{2 x'}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 1 (3 x^{\frac{1}{3}})$

解题步骤 5.3.1.1.3

约去 $x^{\frac{1}{3}}$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.1.1.3.1

约去公因数。

$\frac{2 x'}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 1 (3 x^{\frac{1}{3}})$

解题步骤 5.3.1.1.3.2

重写表达式。

$2 x' = 1 (3 x^{\frac{1}{3}})$

解题步骤 5.3.2

化简右边。

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解题步骤 5.3.2.1

将 $3 x^{\frac{1}{3}}$ 乘以 $1$ 。

$2 x' = 3 x^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 5.4

将 $2 x' = 3 x^{\frac{1}{3}}$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 5.4.1

将 $2 x' = 3 x^{\frac{1}{3}}$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x'}{2} = \frac{3 x^{\frac{1}{3}}}{2}$

解题步骤 5.4.2

化简左边。

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解题步骤 5.4.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x'}{2} = \frac{3 x^{\frac{1}{3}}}{2}$

解题步骤 5.4.2.1.2

用 $x'$ 除以 $1$ 。

$x' = \frac{3 x^{\frac{1}{3}}}{2}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d x}{d y}$ 替换 $x'$ 。

$\frac{d x}{d y} = \frac{3 x^{\frac{1}{3}}}{2}$

微积分学 示例

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