微积分学示例

$y = \sin^{4} (x^{2} + 3 x)$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{4}$ 且 $g (x) = \sin (x^{2} + 3 x)$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\sin (x^{2} + 3 x)$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [\sin (x^{2} + 3 x)]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [\sin (x^{2} + 3 x)]$

解题步骤 1.3

使用 $\sin (x^{2} + 3 x)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$4 \sin^{3} (x^{2} + 3 x) \frac{d}{d x} [\sin (x^{2} + 3 x)]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = x^{2} + 3 x$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $x^{2} + 3 x$ 。

$4 \sin^{3} (x^{2} + 3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x])$

解题步骤 2.2

$\sin (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\cos (u_{2})$ 。

$4 \sin^{3} (x^{2} + 3 x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x])$

解题步骤 2.3

使用 $x^{2} + 3 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$4 \sin^{3} (x^{2} + 3 x) (\cos (x^{2} + 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x])$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $x^{2} + 3 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ 。

$4 \sin^{3} (x^{2} + 3 x) \cos (x^{2} + 3 x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x])$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 \sin^{3} (x^{2} + 3 x) \cos (x^{2} + 3 x) (2 x + \frac{d}{d x} [3 x])$

解题步骤 3.3

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$4 \sin^{3} (x^{2} + 3 x) \cos (x^{2} + 3 x) (2 x + 3 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 \sin^{3} (x^{2} + 3 x) \cos (x^{2} + 3 x) (2 x + 3 \cdot 1)$

解题步骤 3.5

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$4 \sin^{3} (x^{2} + 3 x) \cos (x^{2} + 3 x) (2 x + 3)$

微积分学 示例