微积分学示例

$\int_{0}^{\sqrt[3]{π}} x^{2} \cos (x^{3}) d x$

解题步骤 1

使 $u = x^{3}$ 。然后使 $d u = 3 x^{2} d x$ ，以便 $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = x^{3}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $x^{3}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2}$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = x^{3}$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 0^{3}$

解题步骤 1.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = x^{3}$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = {\sqrt[3]{π}}^{3}$

解题步骤 1.5

将 ${\sqrt[3]{π}}^{3}$ 重写为 $π$ 。

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解题步骤 1.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{π}$ 重写成 $π^{\frac{1}{3}}$ 。

$u_{upper} = {(π^{\frac{1}{3}})}^{3}$

解题步骤 1.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$u_{upper} = π^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

解题步骤 1.5.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$u_{upper} = π^{\frac{3}{3}}$

解题步骤 1.5.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.4.1

约去公因数。

$u_{upper} = π^{\frac{3}{3}}$

解题步骤 1.5.4.2

重写表达式。

$u_{upper} = π^{1}$

解题步骤 1.5.5

化简。

$u_{upper} = π$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{0}^{π} \cos (u) \frac{1}{3} d u$

解题步骤 2

组合 $\cos (u)$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\int_{0}^{π} \frac{\cos (u)}{3} d u$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} \int_{0}^{π} \cos (u) d u$

解题步骤 4

$\cos (u)$ 对 $u$ 的积分为 $\sin (u)$ 。

$\frac{1}{3} \sin (u)]_{0}^{π}$

解题步骤 5

计算 $\sin (u)$ 在 $π$ 处和在 $0$ 处的值。

$\frac{1}{3} (\sin (π) - \sin (0))$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{1}{3} (\sin (π) - 0)$

解题步骤 6.2

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{3} (\sin (π) + 0)$

解题步骤 6.3

将 $\sin (π)$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{3} \sin (π)$

解题步骤 6.4

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $\sin (π)$ 。

$\frac{\sin (π)}{3}$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

化简分子。

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解题步骤 7.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$\frac{\sin (0)}{3}$

解题步骤 7.1.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0}{3}$

解题步骤 7.2

用 $0$ 除以 $3$ 。

$0$

微积分学 示例

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