微积分学示例

$\int 1 + {(\sin (x) - \cos (x))}^{2} d x$

解题步骤 1

化简。

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解题步骤 1.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.1

将 ${(\sin (x) - \cos (x))}^{2}$ 重写为 $(\sin (x) - \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x))$ 。

$\int 1 + (\sin (x) - \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x)) d x$

解题步骤 1.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(\sin (x) - \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x))$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

运用分配律。

$\int 1 + \sin (x) (\sin (x) - \cos (x)) - \cos (x) (\sin (x) - \cos (x)) d x$

解题步骤 1.1.2.2

运用分配律。

$\int 1 + \sin (x) \sin (x) + \sin (x) (- \cos (x)) - \cos (x) (\sin (x) - \cos (x)) d x$

解题步骤 1.1.2.3

运用分配律。

$\int 1 + \sin (x) \sin (x) + \sin (x) (- \cos (x)) - \cos (x) \sin (x) - \cos (x) (- \cos (x)) d x$

解题步骤 1.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.3.1.1

乘以 $\sin (x) \sin (x)$ 。

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解题步骤 1.1.3.1.1.1

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int 1 + \sin^{1} (x) \sin (x) + \sin (x) (- \cos (x)) - \cos (x) \sin (x) - \cos (x) (- \cos (x)) d x$

解题步骤 1.1.3.1.1.2

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int 1 + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \sin (x) (- \cos (x)) - \cos (x) \sin (x) - \cos (x) (- \cos (x)) d x$

解题步骤 1.1.3.1.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 1 + {\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \cos (x)) - \cos (x) \sin (x) - \cos (x) (- \cos (x)) d x$

解题步骤 1.1.3.1.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int 1 + \sin^{2} (x) + \sin (x) (- \cos (x)) - \cos (x) \sin (x) - \cos (x) (- \cos (x)) d x$

解题步骤 1.1.3.1.2

使用乘法的交换性质重写。

$\int 1 + \sin^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) - \cos (x) (- \cos (x)) d x$

解题步骤 1.1.3.1.3

乘以 $- \cos (x) (- \cos (x))$ 。

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解题步骤 1.1.3.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\int 1 + \sin^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + 1 \cos (x) \cos (x) d x$

解题步骤 1.1.3.1.3.2

将 $\cos (x)$ 乘以 $1$ 。

$\int 1 + \sin^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) d x$

解题步骤 1.1.3.1.3.3

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int 1 + \sin^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos^{1} (x) \cos (x) d x$

解题步骤 1.1.3.1.3.4

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int 1 + \sin^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) d x$

解题步骤 1.1.3.1.3.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 1 + \sin^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + {\cos (x)}^{1 + 1} d x$

解题步骤 1.1.3.1.3.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int 1 + \sin^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) d x$

解题步骤 1.1.3.2

重新排序 $- \sin (x) \cos (x)$ 的因式。

$\int 1 + \sin^{2} (x) - \cos (x) \sin (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) d x$

解题步骤 1.1.3.3

从 $- \cos (x) \sin (x)$ 中减去 $\cos (x) \sin (x)$ 。

$\int 1 + \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) d x$

解题步骤 1.1.4

移动 $\cos^{2} (x)$ 。

$\int 1 + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) \sin (x) d x$

解题步骤 1.1.5

使用勾股恒等式。

$\int 1 + 1 - 2 \cos (x) \sin (x) d x$

解题步骤 1.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int 2 - 2 \cos (x) \sin (x) d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 2 d x + \int - 2 \cos (x) \sin (x) d x$

解题步骤 3

应用常数不变法则。

$2 x + C + \int - 2 \cos (x) \sin (x) d x$

解题步骤 4

由于 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 2$ 移到积分外。

$2 x + C - 2 \int \cos (x) \sin (x) d x$

解题步骤 5

使 $u = \cos (x)$ 。然后使 $d u = - \sin (x) d x$ ，以便 $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 5.1

设 $u = \cos (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 5.1.1

对 $\cos (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 5.1.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$- \sin (x)$

解题步骤 5.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$2 x + C - 2 \int - u d u$

解题步骤 6

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$2 x + C - 2 (- \int u d u)$

解题步骤 7

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$2 x + C + 2 \int u d u$

解题步骤 8

根据幂法则， $u$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{2} u^{2}$ 。

$2 x + C + 2 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

化简。

$2 x + 2 (\frac{1}{2}) u^{2} + C$

解题步骤 9.2

化简。

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解题步骤 9.2.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$2 x + \frac{2}{2} u^{2} + C$

解题步骤 9.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.2.1

约去公因数。

$2 x + \frac{2}{2} u^{2} + C$

解题步骤 9.2.2.2

重写表达式。

$2 x + 1 u^{2} + C$

解题步骤 9.2.3

将 $u^{2}$ 乘以 $1$ 。

$2 x + u^{2} + C$

解题步骤 10

使用 $\cos (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 x + \cos^{2} (x) + C$

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