微积分学示例

$\frac{4}{\sqrt{x}} + \frac{3}{x} - 2 e^{- x}$

解题步骤 1

将 $\frac{4}{\sqrt{x}} + \frac{3}{x} - 2 e^{- x}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{4}{\sqrt{x}} + \frac{3}{x} - 2 e^{- x}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{4}{\sqrt{x}} + \frac{3}{x} - 2 e^{- x} d x$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \frac{4}{\sqrt{x}} d x + \int \frac{3}{x} d x + \int - 2 e^{- x} d x$

解题步骤 5

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$4 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x + \int \frac{3}{x} d x + \int - 2 e^{- x} d x$

解题步骤 6

应用指数的基本规则。

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解题步骤 6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$4 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \int \frac{3}{x} d x + \int - 2 e^{- x} d x$

解题步骤 6.2

通过将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$4 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x + \int \frac{3}{x} d x + \int - 2 e^{- x} d x$

解题步骤 6.3

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$4 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x + \int \frac{3}{x} d x + \int - 2 e^{- x} d x$

解题步骤 6.3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$4 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x + \int \frac{3}{x} d x + \int - 2 e^{- x} d x$

解题步骤 6.3.3

将负号移到分数的前面。

$4 \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int \frac{3}{x} d x + \int - 2 e^{- x} d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{- \frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 。

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int \frac{3}{x} d x + \int - 2 e^{- x} d x$

解题步骤 8

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 3 \int \frac{1}{x} d x + \int - 2 e^{- x} d x$

解题步骤 9

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) + \int - 2 e^{- x} d x$

解题步骤 10

由于 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 2$ 移到积分外。

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) - 2 \int e^{- x} d x$

解题步骤 11

使 $u = - x$ 。然后使 $d u = - d x$ ，以便 $- d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 11.1

设 $u = - x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 11.1.1

对 $- x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 11.1.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 11.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 1 \cdot 1$

解题步骤 11.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 11.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) - 2 \int - e^{u} d u$

解题步骤 12

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) - 2 (- \int e^{u} d u)$

解题步骤 13

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) + 2 \int e^{u} d u$

解题步骤 14

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) + 2 (e^{u} + C)$

解题步骤 15

化简。

$8 x^{\frac{1}{2}} + 3 \ln (| x |) + 2 e^{u} + C$

解题步骤 16

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$8 x^{\frac{1}{2}} + 3 \ln (| x |) + 2 e^{- x} + C$

解题步骤 17

答案是函数 $f (x) = \frac{4}{\sqrt{x}} + \frac{3}{x} - 2 e^{- x}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $8 x^{\frac{1}{2}} + 3 \ln (| x |) + 2 e^{- x} + C$

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