微积分学示例

$\int {(4 + e^{x})}^{- 4} e^{x} d x$

解题步骤 1

使 $u = 4 + e^{x}$ 。然后使 $d u = e^{x} d x$ ，以便 $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

设 $u = 4 + e^{x}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

对 $4 + e^{x}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [4 + e^{x}]$

解题步骤 1.1.2

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.1

根据加法法则， $4 + e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 。

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

解题步骤 1.1.2.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

解题步骤 1.1.3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$0 + e^{x}$

解题步骤 1.1.4

将 $0$ 和 $e^{x}$ 相加。

$e^{x}$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int u^{- 4} d u$

解题步骤 2

根据幂法则， $u^{- 4}$ 对 $u$ 的积分是 $- \frac{1}{3} u^{- 3}$ 。

$- \frac{1}{3} u^{- 3} + C$

解题步骤 3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

将 $- \frac{1}{3} u^{- 3} + C$ 重写为 $- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u^{3}} + C$ 。

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u^{3}} + C$

解题步骤 3.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1

将 $\frac{1}{u^{3}}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$- \frac{1}{u^{3} \cdot 3} + C$

解题步骤 3.2.2

将 $3$ 移到 $u^{3}$ 的左侧。

$- \frac{1}{3 u^{3}} + C$

解题步骤 4

使用 $4 + e^{x}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{1}{3 {(4 + e^{x})}^{3}} + C$

微积分学 示例

微积分学示例