微积分学示例

$\sqrt{\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1}}$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1}}$ 重写成 ${(\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1})}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = \frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1}$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1}$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1}]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1}]$

解题步骤 2.3

使用 $\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1}]$

解题步骤 3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1}]$

解题步骤 4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1}]$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1}]$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1}]$

解题步骤 6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1}]$

解题步骤 7

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1}]$

解题步骤 8

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{2} - 3 x$ 且 $g (x) = 2 x + 1$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x] - (x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{{(2 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 9

求微分。

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解题步骤 9.1

根据加法法则， $x^{2} - 3 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(2 x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{{(2 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 9.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(2 x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{{(2 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 9.3

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(2 x + 1) (2 x - 3 \frac{d}{d x} [x]) - (x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{{(2 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 9.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(2 x + 1) (2 x - 3 \cdot 1) - (x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{{(2 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 9.5

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(2 x + 1) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{{(2 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 9.6

根据加法法则， $2 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(2 x + 1) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 9.7

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(2 x + 1) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 9.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(2 x + 1) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 9.9

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(2 x + 1) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x) (2 + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 9.10

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(2 x + 1) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x) (2 + 0)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 9.11

合并分数。

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解题步骤 9.11.1

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(2 x + 1) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x) \cdot 2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 9.11.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(2 x + 1) (2 x - 3) - 2 (x^{2} - 3 x)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 9.11.3

将 $\frac{(2 x + 1) (2 x - 3) - 2 (x^{2} - 3 x)}{{(2 x + 1)}^{2}}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 3) - 2 (x^{2} - 3 x)}{{(2 x + 1)}^{2} \cdot 2} {(\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1})}^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 9.11.4

将 $2$ 移到 ${(2 x + 1)}^{2}$ 的左侧。

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 3) - 2 (x^{2} - 3 x)}{2 \cdot {(2 x + 1)}^{2}} {(\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1})}^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

通过将底数重写为其倒数的方式改变指数的符号。

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 3) - 2 (x^{2} - 3 x)}{2 {(2 x + 1)}^{2}} {(\frac{2 x + 1}{x^{2} - 3 x})}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 10.2

对 $\frac{2 x + 1}{x^{2} - 3 x}$ 运用乘积法则。

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 3) - 2 (x^{2} - 3 x)}{2 {(2 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 10.3

运用分配律。

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 3) - 2 x^{2} - 2 (- 3 x)}{2 {(2 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 10.4

合并项。

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解题步骤 10.4.1

将 $- 3$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 3) - 2 x^{2} + 6 x}{2 {(2 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 10.4.2

将 $\frac{(2 x + 1) (2 x - 3) - 2 x^{2} + 6 x}{2 {(2 x + 1)}^{2}}$ 乘以 $\frac{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{((2 x + 1) (2 x - 3) - 2 x^{2} + 6 x) {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(2 x + 1)}^{2} {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 10.4.3

使用负指数规则 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 将 ${(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 3) - 2 x^{2} + 6 x}{2 {(2 x + 1)}^{2} {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}} {(2 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}$

解题步骤 10.4.4

通过指数相加将 ${(2 x + 1)}^{2}$ 乘以 ${(2 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 10.4.4.1

移动 ${(2 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 3) - 2 x^{2} + 6 x}{2 ({(2 x + 1)}^{- \frac{1}{2}} {(2 x + 1)}^{2}) {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 10.4.4.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 3) - 2 x^{2} + 6 x}{2 {(2 x + 1)}^{- \frac{1}{2} + 2} {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 10.4.4.3

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 3) - 2 x^{2} + 6 x}{2 {(2 x + 1)}^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 10.4.4.4

组合 $2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 3) - 2 x^{2} + 6 x}{2 {(2 x + 1)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 10.4.4.5

在公分母上合并分子。

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 3) - 2 x^{2} + 6 x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}} {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 10.4.4.6

化简分子。

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解题步骤 10.4.4.6.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 3) - 2 x^{2} + 6 x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{- 1 + 4}{2}} {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 10.4.4.6.2

将 $- 1$ 和 $4$ 相加。

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 3) - 2 x^{2} + 6 x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 10.5

重新排序项。

$\frac{- 2 x^{2} + (2 x + 1) (2 x - 3) + 6 x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 10.6

化简分子。

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解题步骤 10.6.1

使用 FOIL 方法展开 $(2 x + 1) (2 x - 3)$ 。

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解题步骤 10.6.1.1

运用分配律。

$\frac{- 2 x^{2} + 2 x (2 x - 3) + 1 (2 x - 3) + 6 x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 10.6.1.2

运用分配律。

$\frac{- 2 x^{2} + 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 3 + 1 (2 x - 3) + 6 x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 10.6.1.3

运用分配律。

$\frac{- 2 x^{2} + 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 3 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 3 + 6 x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 10.6.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 10.6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 10.6.2.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{- 2 x^{2} + 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 3 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 3 + 6 x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 10.6.2.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 10.6.2.1.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{- 2 x^{2} + 2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 3 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 3 + 6 x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 10.6.2.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{- 2 x^{2} + 2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 3 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 3 + 6 x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 10.6.2.1.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 2 x^{2} + 4 x^{2} + 2 x \cdot - 3 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 3 + 6 x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 10.6.2.1.4

将 $- 3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 2 x^{2} + 4 x^{2} - 6 x + 1 (2 x) + 1 \cdot - 3 + 6 x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 10.6.2.1.5

将 $2 x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 2 x^{2} + 4 x^{2} - 6 x + 2 x + 1 \cdot - 3 + 6 x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 10.6.2.1.6

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 2 x^{2} + 4 x^{2} - 6 x + 2 x - 3 + 6 x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 10.6.2.2

将 $- 6 x$ 和 $2 x$ 相加。

$\frac{- 2 x^{2} + 4 x^{2} - 4 x - 3 + 6 x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 10.6.3

将 $- 2 x^{2}$ 和 $4 x^{2}$ 相加。

$\frac{2 x^{2} - 4 x - 3 + 6 x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 10.6.4

将 $- 4 x$ 和 $6 x$ 相加。

$\frac{2 x^{2} + 2 x - 3}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

微积分学 示例

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