微积分学示例

$\int \frac{- 4}{\sqrt{16 - 36 x^{2}}} d x$

解题步骤 1

将负号移到分数的前面。

$\int - \frac{4}{\sqrt{16 - 36 x^{2}}} d x$

解题步骤 2

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int \frac{4}{\sqrt{16 - 36 x^{2}}} d x$

解题步骤 3

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$- (4 \int \frac{1}{\sqrt{16 - 36 x^{2}}} d x)$

解题步骤 4

使用指数书写表达式。

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解题步骤 4.1

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$- 4 \int \frac{1}{\sqrt{16 - 36 x^{2}}} d x$

解题步骤 4.2

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$- 4 \int \frac{1}{\sqrt{4^{2} - 36 x^{2}}} d x$

解题步骤 4.3

将 $36 x^{2}$ 重写为 ${(6 x)}^{2}$ 。

$- 4 \int \frac{1}{\sqrt{4^{2} - {(6 x)}^{2}}} d x$

解题步骤 5

使 $u = 6 x$ 。然后使 $d u = 6 d x$ ，以便 $\frac{1}{6} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 5.1

设 $u = 6 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 5.1.1

对 $6 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [6 x]$

解题步骤 5.1.2

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$6 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$6 \cdot 1$

解题步骤 5.1.4

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$6$

解题步骤 5.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$- 4 \int \frac{1}{\sqrt{4^{2} - u^{2}}} \cdot \frac{1}{6} d u$

解题步骤 6

由于 $\frac{1}{6}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{6}$ 移到积分外。

$- 4 (\frac{1}{6} \int \frac{1}{\sqrt{4^{2} - u^{2}}} d u)$

解题步骤 7

$\frac{1}{\sqrt{4^{2} - u^{2}}}$ 对 $u$ 的积分为 $\arcsin (\frac{u}{4})$

$- 4 (\frac{1}{6} (\arcsin (\frac{u}{4}) + C))$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

化简。

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解题步骤 8.1.1

组合 $\frac{1}{6}$ 和 $- 4$ 。

$\frac{- 4}{6} (\arcsin (\frac{u}{4}) + C)$

解题步骤 8.1.2

约去 $- 4$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 8.1.2.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 2)}{6} (\arcsin (\frac{u}{4}) + C)$

解题步骤 8.1.2.2

约去公因数。

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解题步骤 8.1.2.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3} (\arcsin (\frac{u}{4}) + C)$

解题步骤 8.1.2.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3} (\arcsin (\frac{u}{4}) + C)$

解题步骤 8.1.2.2.3

重写表达式。

$\frac{- 2}{3} (\arcsin (\frac{u}{4}) + C)$

解题步骤 8.1.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2}{3} (\arcsin (\frac{u}{4}) + C)$

解题步骤 8.2

将 $- \frac{2}{3} (\arcsin (\frac{u}{4}) + C)$ 重写为 $- \frac{2}{3} \arcsin (\frac{1}{4} u) + C$ 。

$- \frac{2}{3} \arcsin (\frac{1}{4} u) + C$

解题步骤 9

使用 $6 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{2}{3} \arcsin (\frac{1}{4} (6 x)) + C$

解题步骤 10

组合 $\arcsin (\frac{1}{4} (6 x))$ 和 $\frac{2}{3}$ 。

$- \frac{\arcsin (\frac{1}{4} \cdot 6 x) \cdot 2}{3} + C$

解题步骤 11

重新排序项。

$- \frac{2}{3} \arcsin (\frac{1}{4} \cdot 6 x) + C$

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