微积分学示例

$F (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 13 x - 15$

解题步骤 1

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。

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解题步骤 1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 15$

$q = \pm 1, \pm 2$

解题步骤 1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 3, \pm \frac{3}{2}, \pm 5, \pm \frac{5}{2}, \pm 15, \pm \frac{15}{2}$

解题步骤 2

当 $x = 3$ 时，对 $\frac{2 x^{3} + 3 x^{2} - 13 x - 15}{x - 3}$ 使用综合除法。

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解题步骤 2.1

将表示除数和被除数的数置于与除法相似的构形中。

$3$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$

解题步骤 2.2

将被除数 $(2)$ 中的第一个数放在结果区域（在水平线下）的第一个位置。

$3$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$

	$2$

解题步骤 2.3

将结果 $(2)$ 中的最新项乘以除数 $(3)$ 并将 $(6)$ 的结果置于被除数 $(3)$ 的下一项下方。

$3$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$6$
	$2$

解题步骤 2.4

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$3$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$6$
	$2$	$9$

解题步骤 2.5

将结果 $(9)$ 中的最新项乘以除数 $(3)$ 并将 $(27)$ 的结果置于被除数 $(- 13)$ 的下一项下方。

$3$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$6$	$27$
	$2$	$9$

解题步骤 2.6

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$3$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$6$	$27$
	$2$	$9$	$14$

解题步骤 2.7

将结果 $(14)$ 中的最新项乘以除数 $(3)$ 并将 $(42)$ 的结果置于被除数 $(- 15)$ 的下一项下方。

$3$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$6$	$27$	$42$
	$2$	$9$	$14$

解题步骤 2.8

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$3$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$6$	$27$	$42$
	$2$	$9$	$14$	$27$

解题步骤 2.9

除了最后一个数，其他所有数值都为商多项式的系数。结果行中的最后一个数值为余数。

$2 x^{2} + 9 x + 14 + \frac{27}{x - 3}$

解题步骤 3

因为 $3 > 0$ 且综合除法末行的所有符号都是正号，所以 $3$ 是函数实根的上界。

上界： $3$

解题步骤 4

当 $x = - \frac{3}{2}$ 时，对 $\frac{2 x^{3} + 3 x^{2} - 13 x - 15}{x + \frac{3}{2}}$ 使用综合除法。

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解题步骤 4.1

将表示除数和被除数的数置于与除法相似的构形中。

$- \frac{3}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$

解题步骤 4.2

将被除数 $(2)$ 中的第一个数放在结果区域（在水平线下）的第一个位置。

$- \frac{3}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$

	$2$

解题步骤 4.3

将结果 $(2)$ 中的最新项乘以除数 $(- \frac{3}{2})$ 并将 $(- 3)$ 的结果置于被除数 $(3)$ 的下一项下方。

$- \frac{3}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$- 3$
	$2$

解题步骤 4.4

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$- \frac{3}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$- 3$
	$2$	$0$

解题步骤 4.5

将结果 $(0)$ 中的最新项乘以除数 $(- \frac{3}{2})$ 并将 $(0)$ 的结果置于被除数 $(- 13)$ 的下一项下方。

$- \frac{3}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$- 3$	$0$
	$2$	$0$

解题步骤 4.6

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$- \frac{3}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$- 3$	$0$
	$2$	$0$	$- 13$

解题步骤 4.7

将结果 $(- 13)$ 中的最新项乘以除数 $(- \frac{3}{2})$ 并将 $(\frac{39}{2})$ 的结果置于被除数 $(- 15)$ 的下一项下方。

$- \frac{3}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$- 3$	$0$	$\frac{39}{2}$
	$2$	$0$	$- 13$

解题步骤 4.8

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$- \frac{3}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$- 3$	$0$	$\frac{39}{2}$
	$2$	$0$	$- 13$	$\frac{9}{2}$

解题步骤 4.9

除了最后一个数，其他所有数值都为商多项式的系数。结果行中的最后一个数值为余数。

$2 x^{2} + 0 x - 13 + \frac{\frac{9}{2}}{x + \frac{3}{2}}$

解题步骤 4.10

化简商多项式。

$2 x^{2} - 13 + \frac{9}{2 x + 3}$

解题步骤 5

因为 $- \frac{3}{2} < 0$ 且综合除法末行的符号是正号和负号交替出现，所以 $- \frac{3}{2}$ 是函数实根的下界。

下界： $- \frac{3}{2}$

解题步骤 6

当 $x = 5$ 时，对 $\frac{2 x^{3} + 3 x^{2} - 13 x - 15}{x - 5}$ 使用综合除法。

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解题步骤 6.1

将表示除数和被除数的数置于与除法相似的构形中。

$5$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$

解题步骤 6.2

将被除数 $(2)$ 中的第一个数放在结果区域（在水平线下）的第一个位置。

$5$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$

	$2$

解题步骤 6.3

将结果 $(2)$ 中的最新项乘以除数 $(5)$ 并将 $(10)$ 的结果置于被除数 $(3)$ 的下一项下方。

$5$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$10$
	$2$

解题步骤 6.4

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$5$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$10$
	$2$	$13$

解题步骤 6.5

将结果 $(13)$ 中的最新项乘以除数 $(5)$ 并将 $(65)$ 的结果置于被除数 $(- 13)$ 的下一项下方。

$5$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$10$	$65$
	$2$	$13$

解题步骤 6.6

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$5$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$10$	$65$
	$2$	$13$	$52$

解题步骤 6.7

将结果 $(52)$ 中的最新项乘以除数 $(5)$ 并将 $(260)$ 的结果置于被除数 $(- 15)$ 的下一项下方。

$5$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$10$	$65$	$260$
	$2$	$13$	$52$

解题步骤 6.8

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$5$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$10$	$65$	$260$
	$2$	$13$	$52$	$245$

解题步骤 6.9

除了最后一个数，其他所有数值都为商多项式的系数。结果行中的最后一个数值为余数。

$2 x^{2} + 13 x + 52 + \frac{245}{x - 5}$

解题步骤 7

因为 $5 > 0$ 且综合除法末行的所有符号都是正号，所以 $5$ 是函数实根的上界。

上界： $5$

解题步骤 8

当 $x = - 5$ 时，对 $\frac{2 x^{3} + 3 x^{2} - 13 x - 15}{x + 5}$ 使用综合除法。

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解题步骤 8.1

将表示除数和被除数的数置于与除法相似的构形中。

$- 5$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$

解题步骤 8.2

将被除数 $(2)$ 中的第一个数放在结果区域（在水平线下）的第一个位置。

$- 5$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$

	$2$

解题步骤 8.3

将结果 $(2)$ 中的最新项乘以除数 $(- 5)$ 并将 $(- 10)$ 的结果置于被除数 $(3)$ 的下一项下方。

$- 5$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$- 10$
	$2$

解题步骤 8.4

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$- 5$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$- 10$
	$2$	$- 7$

解题步骤 8.5

将结果 $(- 7)$ 中的最新项乘以除数 $(- 5)$ 并将 $(35)$ 的结果置于被除数 $(- 13)$ 的下一项下方。

$- 5$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$- 10$	$35$
	$2$	$- 7$

解题步骤 8.6

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$- 5$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$- 10$	$35$
	$2$	$- 7$	$22$

解题步骤 8.7

将结果 $(22)$ 中的最新项乘以除数 $(- 5)$ 并将 $(- 110)$ 的结果置于被除数 $(- 15)$ 的下一项下方。

$- 5$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$- 10$	$35$	$- 110$
	$2$	$- 7$	$22$

解题步骤 8.8

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$- 5$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$- 10$	$35$	$- 110$
	$2$	$- 7$	$22$	$- 125$

解题步骤 8.9

除了最后一个数，其他所有数值都为商多项式的系数。结果行中的最后一个数值为余数。

$2 x^{2} + - 7 x + 22 + \frac{- 125}{x + 5}$

解题步骤 8.10

化简商多项式。

$2 x^{2} - 7 x + 22 - \frac{125}{x + 5}$

解题步骤 9

因为 $- 5 < 0$ 且综合除法末行的符号是正号和负号交替出现，所以 $- 5$ 是函数实根的下界。

下界： $- 5$

解题步骤 10

当 $x = \frac{5}{2}$ 时，对 $\frac{2 x^{3} + 3 x^{2} - 13 x - 15}{x - \frac{5}{2}}$ 使用综合除法。

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解题步骤 10.1

将表示除数和被除数的数置于与除法相似的构形中。

$\frac{5}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$

解题步骤 10.2

将被除数 $(2)$ 中的第一个数放在结果区域（在水平线下）的第一个位置。

$\frac{5}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$

	$2$

解题步骤 10.3

将结果 $(2)$ 中的最新项乘以除数 $(\frac{5}{2})$ 并将 $(5)$ 的结果置于被除数 $(3)$ 的下一项下方。

$\frac{5}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$5$
	$2$

解题步骤 10.4

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$\frac{5}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$5$
	$2$	$8$

解题步骤 10.5

将结果 $(8)$ 中的最新项乘以除数 $(\frac{5}{2})$ 并将 $(20)$ 的结果置于被除数 $(- 13)$ 的下一项下方。

$\frac{5}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$5$	$20$
	$2$	$8$

解题步骤 10.6

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$\frac{5}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$5$	$20$
	$2$	$8$	$7$

解题步骤 10.7

将结果 $(7)$ 中的最新项乘以除数 $(\frac{5}{2})$ 并将 $(\frac{35}{2})$ 的结果置于被除数 $(- 15)$ 的下一项下方。

$\frac{5}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$5$	$20$	$\frac{35}{2}$
	$2$	$8$	$7$

解题步骤 10.8

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$\frac{5}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$5$	$20$	$\frac{35}{2}$
	$2$	$8$	$7$	$\frac{5}{2}$

解题步骤 10.9

除了最后一个数，其他所有数值都为商多项式的系数。结果行中的最后一个数值为余数。

$2 x^{2} + 8 x + 7 + \frac{\frac{5}{2}}{x - \frac{5}{2}}$

解题步骤 10.10

化简商多项式。

$2 x^{2} + 8 x + 7 + \frac{5}{2 x - 5}$

解题步骤 11

因为 $\frac{5}{2} > 0$ 且综合除法末行的所有符号都是正号，所以 $\frac{5}{2}$ 是函数实根的上界。

上界： $\frac{5}{2}$

解题步骤 12

当 $x = 15$ 时，对 $\frac{2 x^{3} + 3 x^{2} - 13 x - 15}{x - 15}$ 使用综合除法。

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解题步骤 12.1

将表示除数和被除数的数置于与除法相似的构形中。

$15$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$

解题步骤 12.2

将被除数 $(2)$ 中的第一个数放在结果区域（在水平线下）的第一个位置。

$15$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$

	$2$

解题步骤 12.3

将结果 $(2)$ 中的最新项乘以除数 $(15)$ 并将 $(30)$ 的结果置于被除数 $(3)$ 的下一项下方。

$15$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$30$
	$2$

解题步骤 12.4

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$15$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$30$
	$2$	$33$

解题步骤 12.5

将结果 $(33)$ 中的最新项乘以除数 $(15)$ 并将 $(495)$ 的结果置于被除数 $(- 13)$ 的下一项下方。

$15$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$30$	$495$
	$2$	$33$

解题步骤 12.6

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$15$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$30$	$495$
	$2$	$33$	$482$

解题步骤 12.7

将结果 $(482)$ 中的最新项乘以除数 $(15)$ 并将 $(7230)$ 的结果置于被除数 $(- 15)$ 的下一项下方。

$15$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$30$	$495$	$7230$
	$2$	$33$	$482$

解题步骤 12.8

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$15$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$30$	$495$	$7230$
	$2$	$33$	$482$	$7215$

解题步骤 12.9

除了最后一个数，其他所有数值都为商多项式的系数。结果行中的最后一个数值为余数。

$2 x^{2} + 33 x + 482 + \frac{7215}{x - 15}$

解题步骤 13

因为 $15 > 0$ 且综合除法末行的所有符号都是正号，所以 $15$ 是函数实根的上界。

上界： $15$

解题步骤 14

当 $x = - 15$ 时，对 $\frac{2 x^{3} + 3 x^{2} - 13 x - 15}{x + 15}$ 使用综合除法。

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解题步骤 14.1

将表示除数和被除数的数置于与除法相似的构形中。

$- 15$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$

解题步骤 14.2

将被除数 $(2)$ 中的第一个数放在结果区域（在水平线下）的第一个位置。

$- 15$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$

	$2$

解题步骤 14.3

将结果 $(2)$ 中的最新项乘以除数 $(- 15)$ 并将 $(- 30)$ 的结果置于被除数 $(3)$ 的下一项下方。

$- 15$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$- 30$
	$2$

解题步骤 14.4

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$- 15$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$- 30$
	$2$	$- 27$

解题步骤 14.5

将结果 $(- 27)$ 中的最新项乘以除数 $(- 15)$ 并将 $(405)$ 的结果置于被除数 $(- 13)$ 的下一项下方。

$- 15$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$- 30$	$405$
	$2$	$- 27$

解题步骤 14.6

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$- 15$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$- 30$	$405$
	$2$	$- 27$	$392$

解题步骤 14.7

将结果 $(392)$ 中的最新项乘以除数 $(- 15)$ 并将 $(- 5880)$ 的结果置于被除数 $(- 15)$ 的下一项下方。

$- 15$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$- 30$	$405$	$- 5880$
	$2$	$- 27$	$392$

解题步骤 14.8

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$- 15$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$- 30$	$405$	$- 5880$
	$2$	$- 27$	$392$	$- 5895$

解题步骤 14.9

除了最后一个数，其他所有数值都为商多项式的系数。结果行中的最后一个数值为余数。

$2 x^{2} + - 27 x + 392 + \frac{- 5895}{x + 15}$

解题步骤 14.10

化简商多项式。

$2 x^{2} - 27 x + 392 - \frac{5895}{x + 15}$

解题步骤 15

因为 $- 15 < 0$ 且综合除法末行的符号是正号和负号交替出现，所以 $- 15$ 是函数实根的下界。

下界： $- 15$

解题步骤 16

当 $x = \frac{15}{2}$ 时，对 $\frac{2 x^{3} + 3 x^{2} - 13 x - 15}{x - \frac{15}{2}}$ 使用综合除法。

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解题步骤 16.1

将表示除数和被除数的数置于与除法相似的构形中。

$\frac{15}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$

解题步骤 16.2

将被除数 $(2)$ 中的第一个数放在结果区域（在水平线下）的第一个位置。

$\frac{15}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$

	$2$

解题步骤 16.3

将结果 $(2)$ 中的最新项乘以除数 $(\frac{15}{2})$ 并将 $(15)$ 的结果置于被除数 $(3)$ 的下一项下方。

$\frac{15}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$15$
	$2$

解题步骤 16.4

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$\frac{15}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$15$
	$2$	$18$

解题步骤 16.5

将结果 $(18)$ 中的最新项乘以除数 $(\frac{15}{2})$ 并将 $(135)$ 的结果置于被除数 $(- 13)$ 的下一项下方。

$\frac{15}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$15$	$135$
	$2$	$18$

解题步骤 16.6

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$\frac{15}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$15$	$135$
	$2$	$18$	$122$

解题步骤 16.7

将结果 $(122)$ 中的最新项乘以除数 $(\frac{15}{2})$ 并将 $(915)$ 的结果置于被除数 $(- 15)$ 的下一项下方。

$\frac{15}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$15$	$135$	$915$
	$2$	$18$	$122$

解题步骤 16.8

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$\frac{15}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$15$	$135$	$915$
	$2$	$18$	$122$	$900$

解题步骤 16.9

除了最后一个数，其他所有数值都为商多项式的系数。结果行中的最后一个数值为余数。

$2 x^{2} + 18 x + 122 + \frac{900}{x - \frac{15}{2}}$

解题步骤 16.10

化简商多项式。

$2 x^{2} + 18 x + 122 + \frac{1800}{2 x - 15}$

解题步骤 17

因为 $\frac{15}{2} > 0$ 且综合除法末行的所有符号都是正号，所以 $\frac{15}{2}$ 是函数实根的上界。

上界： $\frac{15}{2}$

解题步骤 18

当 $x = - \frac{15}{2}$ 时，对 $\frac{2 x^{3} + 3 x^{2} - 13 x - 15}{x + \frac{15}{2}}$ 使用综合除法。

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解题步骤 18.1

将表示除数和被除数的数置于与除法相似的构形中。

$- \frac{15}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$

解题步骤 18.2

将被除数 $(2)$ 中的第一个数放在结果区域（在水平线下）的第一个位置。

$- \frac{15}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$

	$2$

解题步骤 18.3

将结果 $(2)$ 中的最新项乘以除数 $(- \frac{15}{2})$ 并将 $(- 15)$ 的结果置于被除数 $(3)$ 的下一项下方。

$- \frac{15}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$- 15$
	$2$

解题步骤 18.4

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$- \frac{15}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$- 15$
	$2$	$- 12$

解题步骤 18.5

将结果 $(- 12)$ 中的最新项乘以除数 $(- \frac{15}{2})$ 并将 $(90)$ 的结果置于被除数 $(- 13)$ 的下一项下方。

$- \frac{15}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$- 15$	$90$
	$2$	$- 12$

解题步骤 18.6

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$- \frac{15}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$- 15$	$90$
	$2$	$- 12$	$77$

解题步骤 18.7

将结果 $(77)$ 中的最新项乘以除数 $(- \frac{15}{2})$ 并将 $(- \frac{1155}{2})$ 的结果置于被除数 $(- 15)$ 的下一项下方。

$- \frac{15}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$- 15$	$90$	$- \frac{1155}{2}$
	$2$	$- 12$	$77$

解题步骤 18.8

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$- \frac{15}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$- 15$	$90$	$- \frac{1155}{2}$
	$2$	$- 12$	$77$	$- \frac{1185}{2}$

解题步骤 18.9

除了最后一个数，其他所有数值都为商多项式的系数。结果行中的最后一个数值为余数。

$2 x^{2} + - 12 x + 77 + \frac{- \frac{1185}{2}}{x + \frac{15}{2}}$

解题步骤 18.10

化简商多项式。

$2 x^{2} - 12 x + 77 - \frac{1185}{2 x + 15}$

解题步骤 19

因为 $- \frac{15}{2} < 0$ 且综合除法末行的符号是正号和负号交替出现，所以 $- \frac{15}{2}$ 是函数实根的下界。

下界： $- \frac{15}{2}$

解题步骤 20

确定上界与下界。

上界： $3, 5, \frac{5}{2}, 15, \frac{15}{2}$

下界： $- \frac{3}{2}, - 5, - 15, - \frac{15}{2}$

解题步骤 21

微积分学 示例

微积分学示例