微积分学示例

$\int 5 \tan (3 x) \ln (\sec (3 x)) d x$

解题步骤 1

由于 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$5 \int \tan (3 x) \ln (\sec (3 x)) d x$

解题步骤 2

使 $u_{3} = \ln (\sec (3 x))$ 。然后使 $d u_{3} = 3 \tan (3 x) d x$ ，以便 $\frac{1}{3} d u_{3} = \tan (3 x) d x$ 。使用 $u_{3}$ 和 $d$ $u_{3}$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u_{3} = \ln (\sec (3 x))$ 。求 $\frac{d u_{3}}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $\ln (\sec (3 x))$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\ln (\sec (3 x))]$

解题步骤 2.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \sec (3 x)$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\sec (3 x)$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

解题步骤 2.1.2.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

解题步骤 2.1.2.3

使用 $\sec (3 x)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{\sec (3 x)} \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

解题步骤 2.1.3

将 $\sec (3 x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (3 x)}} \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

解题步骤 2.1.4

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{\cos (3 x)}$ 。

$1 \cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

解题步骤 2.1.5

将 $\cos (3 x)$ 乘以 $1$ 。

$\cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

解题步骤 2.1.6

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sec (x)$ 且 $g (x) = 3 x$ 。

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解题步骤 2.1.6.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $3 x$ 。

$\cos (3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])$

解题步骤 2.1.6.2

$\sec (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ 。

$\cos (3 x) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])$

解题步骤 2.1.6.3

使用 $3 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\cos (3 x) (\sec (3 x) \tan (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

解题步骤 2.1.7

求微分。

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解题步骤 2.1.7.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\cos (3 x) \sec (3 x) \tan (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.1.7.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\cos (3 x) \sec (3 x) \tan (3 x) (3 \cdot 1)$

解题步骤 2.1.7.3

化简表达式。

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解题步骤 2.1.7.3.1

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\cos (3 x) \sec (3 x) \tan (3 x) \cdot 3$

解题步骤 2.1.7.3.2

将 $3$ 移到 $\cos (3 x) \sec (3 x) \tan (3 x)$ 的左侧。

$3 \cdot (\cos (3 x) \sec (3 x) \tan (3 x))$

解题步骤 2.1.8

化简。

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解题步骤 2.1.8.1

重写为正弦和余弦的形式，然后约去公因式。

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解题步骤 2.1.8.1.1

添加圆括号。

$3 (\cos (3 x) \sec (3 x)) \tan (3 x)$

解题步骤 2.1.8.1.2

将 $\cos (3 x)$ 和 $\sec (3 x)$ 重新排序。

$3 (\sec (3 x) \cos (3 x)) \tan (3 x)$

解题步骤 2.1.8.1.3

将 $3 \cos (3 x) \sec (3 x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$3 (\frac{1}{\cos (3 x)} \cos (3 x)) \tan (3 x)$

解题步骤 2.1.8.1.4

约去公因数。

$3 \cdot 1 \tan (3 x)$

解题步骤 2.1.8.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3 \tan (3 x)$

解题步骤 2.1.8.3

将 $\tan (3 x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$3 \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$

解题步骤 2.1.8.4

组合 $3$ 和 $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ 。

$\frac{3 \sin (3 x)}{\cos (3 x)}$

解题步骤 2.1.8.5

分离分数。

$\frac{3}{1} \cdot \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$

解题步骤 2.1.8.6

将 $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ 转换成 $\tan (3 x)$ 。

$\frac{3}{1} \tan (3 x)$

解题步骤 2.1.8.7

用 $3$ 除以 $1$ 。

$3 \tan (3 x)$

解题步骤 2.2

使用 $u_{3}$ 和 $d u_{3}$ 重写该问题。

$5 \int u_{3} \frac{1}{3} d u_{3}$

解题步骤 3

组合 $u_{3}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$5 \int \frac{u_{3}}{3} d u_{3}$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u_{3}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$5 (\frac{1}{3} \int u_{3} d u_{3})$

解题步骤 5

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $5$ 。

$\frac{5}{3} \int u_{3} d u_{3}$

解题步骤 6

根据幂法则， $u_{3}$ 对 $u_{3}$ 的积分是 $\frac{1}{2} {u_{3}}^{2}$ 。

$\frac{5}{3} (\frac{1}{2} {u_{3}}^{2} + C)$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

将 $\frac{5}{3} (\frac{1}{2} {u_{3}}^{2} + C)$ 重写为 $\frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2} {u_{3}}^{2} + C$ 。

$\frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2} {u_{3}}^{2} + C$

解题步骤 7.2

化简。

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解题步骤 7.2.1

将 $\frac{5}{3}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{5}{3 \cdot 2} {u_{3}}^{2} + C$

解题步骤 7.2.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{5}{6} {u_{3}}^{2} + C$

解题步骤 8

使用 $\ln (\sec (3 x))$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$\frac{5}{6} \ln^{2} (\sec (3 x)) + C$

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