微积分学示例

$y = \tan (x) + \frac{1}{3} \tan^{3} (x)$

解题步骤 1

根据加法法则， $\tan (x) + \frac{1}{3} \tan^{3} (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} \tan^{3} (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} \tan^{3} (x)]$

解题步骤 2

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$\sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} \tan^{3} (x)]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} \tan^{3} (x)]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{3} \tan^{3} (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\tan^{3} (x)]$ 。

$\sec^{2} (x) + \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\tan^{3} (x)]$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = \tan (x)$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\tan (x)$ 。

$\sec^{2} (x) + \frac{1}{3} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\sec^{2} (x) + \frac{1}{3} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

解题步骤 3.2.3

使用 $\tan (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\sec^{2} (x) + \frac{1}{3} (3 \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

解题步骤 3.3

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$\sec^{2} (x) + \frac{1}{3} (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x))$

解题步骤 3.4

组合 $3$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\sec^{2} (x) + \frac{3}{3} (\tan^{2} (x) \sec^{2} (x))$

解题步骤 3.5

组合 $\tan^{2} (x)$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\sec^{2} (x) + \frac{\tan^{2} (x) \cdot 3}{3} \sec^{2} (x)$

解题步骤 3.6

组合 $\frac{\tan^{2} (x) \cdot 3}{3}$ 和 $\sec^{2} (x)$ 。

$\sec^{2} (x) + \frac{\tan^{2} (x) \cdot 3 \sec^{2} (x)}{3}$

解题步骤 3.7

将 $3$ 移到 $\tan^{2} (x)$ 的左侧。

$\sec^{2} (x) + \frac{3 \cdot \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)}{3}$

解题步骤 3.8

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.8.1

约去公因数。

$\sec^{2} (x) + \frac{3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)}{3}$

解题步骤 3.8.2

用 $\tan^{2} (x) \sec^{2} (x)$ 除以 $1$ 。

$\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

重新排序项。

$\sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \sec^{2} (x)$

解题步骤 4.2

从 $\sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \sec^{2} (x)$ 中分解出因数 $\sec^{2} (x)$ 。

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解题步骤 4.2.1

从 $\sec^{2} (x) \tan^{2} (x)$ 中分解出因数 $\sec^{2} (x)$ 。

$\sec^{2} (x) (\tan^{2} (x)) + \sec^{2} (x)$

解题步骤 4.2.2

乘以 $1$ 。

$\sec^{2} (x) (\tan^{2} (x)) + \sec^{2} (x) \cdot 1$

解题步骤 4.2.3

从 $\sec^{2} (x) (\tan^{2} (x)) + \sec^{2} (x) \cdot 1$ 中分解出因数 $\sec^{2} (x)$ 。

$\sec^{2} (x) (\tan^{2} (x) + 1)$

解题步骤 4.3

使用勾股恒等式。

$\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)$

解题步骤 4.4

通过指数相加将 $\sec^{2} (x)$ 乘以 $\sec^{2} (x)$ 。

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解题步骤 4.4.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${\sec (x)}^{2 + 2}$

解题步骤 4.4.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\sec^{4} (x)$

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